すうがくのいえ 
これから関数を学んで行こうと思うけど、
そもそも関数ってなに？
関数とかいうよく分からない未知の生命体に恐る恐る触ってみる。
ついでに変数とか定数とかにも触る。
関数とは、数の関係性のこと。
例えば、とりあえず、どんな数にでもなり得る\(x\)と\(y\)があることを考える。
\(x\)を\(x=2\)にしようと決めたとき、\(y\)は\(y=4\)に決まることが分かったとする。
\(x\)を\(x=3\)にしようと決めたとき、\(y\)は\(y=6\)に決まることが分かったとする。
このとき、\(x\)と\(y\)の関係性は\(y=2x\)って表すことができる。
また別の\(x\)と\(y\)のパターンを考えてみる。
\(x\)を\(x=2\)にしようと決めたとき、\(y\)は\(y=5\)に決まることが分かったとする。
\(x\)を\(x=3\)にしようと決めたとき、\(y\)は\(y=6\)に決まることが分かったとする。
このとき、\(x\)と\(y\)の関係性は\(y=x+3\)って表すことができる。
こんな感じに、\(x\)が決まることで\(y\)が決まる。
この\(x\)と\(y\)の
関係性を「関数」って呼ぶ。
\(x\)が決まることで\(y\)が決まることを「\(y\)は\(x\)の関数である」っていう言い方をする。
これが関数。
数の関係性のお話。
どんな数にでもなり得る文字のことを変数って呼ぶ。
変化する数って感じで変数。
大体文字で表す。
「\(y=ax+b\)」とか「\(y=ax^2+bx+c\)」でいう\(y\)と\(x\)が変数。
関数はよく「2つの変数\(x\)、\(y\)において、\(x\)が決まることで\(y\)が決まるとき、\(y\)は\(x\)の関数であるという」って感じに説明される。
大体の場合、変数を表すときは「\(x\)、\(y\)、\(z\)」あたりの最後の方のアルファベットをよく使う。
ただこれは習慣上そうしているだけだから、分かれば別に「ヱ」とか「\(ψ\)」とか何でもいい。
そうしなければならないという決まりがあるわけではない。
でも慣習に倣った方が分かりやすい。
以下の引用はとりあえず覚えなくてもいい。参考程度に。
x、y二つの変数について、xのほうが主体的に変化する数で、yのほうは、xに「伴って変わる量」になっていることがある。このとき、xを独立変数、yを従属変数（xの関数）という。独立変数、従属変数はいくつあってもかまわない。変数が実数の値しかとらないとき実変数、複素数値もとるとき複素変数という。関数の性質を調べるとき、微分積分法は実変数の関数についての議論であり、複素変数としての微分積分法の議論を展開するときは、関数論（複素変数関数論、複素関数論ともいう）とよばれる分野となる。以上は原義的な変数の意味であるが、近年は、一つの集合を考察しているとき、その集合の要素を一般的に表す文字をも変数とよぶようになっている。
コトバンク｜日本大百科全書(ニッポニカ)「変数」の解説
変数に対して、変化しない決まった数値のことを定数って呼ぶ。
定まった数って感じで定数。
文字でも数字でも変化せず固定された数値なのであればそれは定数。
「\(y=ax+b\)」とか「\(y=ax^2+bx+c\)」でいう\(a\)と\(b\)と\(c\)が定数。
この\(a\)と\(b\)と\(c\)のうち、\(a\)と\(b\)は変数に係る数なので係数でもある。
大体の場合、定数を表すときは「\(a\)、\(b\)、\(c\)」あたりの最初の方のアルファベットをよく使う。
ただこれは習慣上そうしているだけだから、分かるのであれば別に「ゐ」とか「\(ξ\)」とか何でもいい。
そうしなければならないという決まりがあるわけではない。
でも慣習に倣った方が分かりやすい。
1次関数は1次式の関数っていう意味。
1次式とは、最も次数の高い項の次数が「1」の式ということ。
基本的に1次関数は\[y=ax+b\]って表す。
例えば「\(y=2x\)」とか「\(y=x+3\)」のこと。
\(x\)の値に関係なく常に\(y\)の値が一定な関数を定数関数って呼ぶ。
基本的に定数関数は\[y=b\]って表す。
1次関数「\(y=ax+b\)」の\(a=0\)の場合って感じ。
例えば「\(y=2\)」とか「\(y=3\)」のこと。
2次関数は2次式の関数っていう意味。
2次式とは、最も次数の高い項の次数が「2」の式ということ。
基本的に2次関数は\[y=ax^2+bx+c\]って表す。
例えば「\(y=x^2+2x+1\)」とか「\(y=x^2+4x-5\)」のこと。
なんか文字ばっかり。
関数は左辺が\(y\)で右辺が\(x\)を使った等式。
方程式は右辺が\(0\)で左辺が\(x\)を使った等式。
とりあえずこんな感じに覚えておけば良き。
関数は、\[f(x)\]って表したりもする。
\(f(x)\)の「\(f\)」は関数という意味の英単語「function」の頭文字の「f」から来ている。
これから無限に出てくる「関数\(y=x^2+2x+1\)～」って感じの式を毎回書くのが面倒臭いから「\(f(x)\)」って統一して書く感じ。
使い方は、\(y\)が\(x\)の関数であること表すときに、\[y=f(x)\]って感じに使う。
\(x\)の関数を、単純に「\(f(x)\)」って使ったりもする。
例えば、「\(y=x+3\)」という関数があったとして、「\(y=f(x)\)」とも表せるし「\(f(x)=x+3\)」とも表せるし、単純に「\(f(x)\)」って書いたりもする。
とにかく、\(f(x)\)って出てきたら何かしらの\(x\)の式なんだろうと思っておけば良き。
慣れるまでちょっと使いづらいけど慣れてきたらどうってことない。
他にも「関数\(g(x)\)」っていうのを使ったりする。
アルファベット順でfの次がgだから使ったりする。
使いどころは\(f\)を既に使っているときに、別の関数を表したい場合に\(g\)を使ったりしている。
関数\(y=f(x)\)を考えるとき、\(x\)の値が\(a\)の場合、それに対応して定まる\(y\)の値を\[f(a)\]って書く。
これを「関数\(f(x)\)の\(x=a\)における値」って表現したりする。
\(x=2\)のときは\(f(2)\)
\(x=3\)のときは\(f(3)\)
っていう感じに書く。
例えば、「\(f(x)=x+3\)」という関数を考えてみる。
\(x=2\)のときは\[f(2)=2+3=5\]
\(x=3\)のときは\[f(3)=3+3=6\]
こんな感じに、関数の値を具体的に求めることができる。
散々文字とか数字を使って数学なのか英語なのか分からない説明をしてきたけど、
関数はグラフで考えろ
これに尽きる。
とにかく関数はグラフで考えた方が良い。
何が良いって、グラフに表すことで数式を可視化できるのが良すぎる。
グラフを最初に考えた人マジで天才。
軽く説明すると、\(x\)と\(y\)それぞれの取り得る値の範囲を数直線で表すことでグラフが書ける。
例えば、「\(y=x\)」という関数をグラフに表すと、
こんな感じになる。
グラフに表すことで数式を可視化できる。
つまりグラフはメッチャ便利。
書けるようになっておいた方が良い。
| 関数 | 数の関係性のお話。 2つの変数\(x\)、\(y\)において、\(x\)が決まることで\(y\)が決まるとき、\(y\)は\(x\)の関数であるという。 |
| \(f(x)\) | \(y\)が\(x\)の関数であること表すときに、「\(y=f(x)\)」と書くことができる。 |
| 変数 | どんな数にでもなり得る文字のこと。変化する数。 |
| 定数 | 変化しない決まった数値のこと。定まった数。文字とは限らない。 |
・関数と方程式の違い
関数は左辺が\(y\)で右辺が\(x\)を使った等式。
方程式は右辺が\(0\)で左辺が\(x\)を使った等式。
・関数はグラフで表せる
グラフに表せば数式を可視化できるし、変数とか定数とかで使う文字は本当であれば何でも良き。
でも「\(ψ\)」とか「\(ξ\)」とかは物理学の波動関数とか大分配関数とかで出てきちゃったりする。
だからやっぱり被らないためにも実際には慣習通りの文字を使っていくと分かりやすい。
一般的な分かりやすさのお話。
