不等式の性質から導く不等式を2乗するやり方

2変数関数の問題を解いていたら、「不等式を2乗する」という作業があった。
不等式は単純に2乗できないこともあったような。
不等式の2乗ってどうやるんだっけ。
復習も兼ねて不等式の性質から確認してみる。

不等式の性質

とりあえず不等式の性質を再確認する。

2つの実数\(a,b\)の関係について、「\(a\;\)＞\(\;b\)」「\(a=b\)」「\(a\;\)＜\(\;b\)」のどれか一つの関係だけが成り立つ。
これは実数としての性質。
「\(a\;\)≧\(\;b\)」は「\(a\;\)＞\(\;b\)または\(a=b\)」なので「\(a\;\)＞\(\;b\)」と「\(a=b\)」を同時に満たしているわけではない。

☆問に答える際の不等号の向き

問に答える際は、数直線の右側が大きい数になっていることに倣って、実数や式の大小関係はなるべく右側が大きくなるように不等号の向きを決める。

\(a\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;b\) 他に、方程式の解答「\(x=a\)」に倣って、変数と定数の大小関係は(変数)＜(定数)
(変数)＞(定数)のように、なるべく左辺が変数、右辺が定数となるように不等号の向きを決める。 \(x\;\)＞\(\;a\)
\(x\;\)＜\(\;b\) 「なるべく」なので、大小関係さえ合っていれば逆になっていても間違いではない。
問に答える際のお話なので、説明する際は分かりやすくするために「\(b\;\)＞\(\;x\;\)＞\(\;a\)」「\(b\;\)＞\(\;x\)」といった表し方もしたりする。

不等式の性質０．

「\(a\)が\(b\)より小さく、\(b\)が\(c\)より小さいならば、\(a\)は\(c\)より小さい」ということ。
例えば、\(\;0\;\)＜\(\;x\;\)かつ\(\;x\;\)＜\(\;2\;\)ならば\(\;0\;\)＜\(\;2\;\)だよねって感じ。
この不等式の性質０．のことを「不等式の推移律」っていう。
推移律は、移り変わっていく法則みたいな意味。
つまり「不等式の推移律」は、「不等式の移り変わっていく法則」ということ。
これが不等式の性質０．。

不等式の性質１．

不等式の両辺に同じ数を加えても、両辺から同じ数を引いても、不等号の向きは変わらないということ。
例えば、\(0\;\)＜\(\;x\)の両辺に\(1\)を加えると、\(1\;\)＜\(\;x+1\)となり、不等号の向きは変わらない。
例えば、\(0\;\)＜\(\;x\)の両辺から\(1\)を引くと、\(-1\;\)＜\(\;x-1\)となり、不等号の向きは変わらない。
これが不等式の性質１．。

不等式の性質２．

不等式の両辺に同じ正の数を掛けても、両辺を同じ正の数で割っても、不等号の向きは変わらないということ。
例えば、\(x\;\)＜\(\;2\)の両辺に\(2\)を掛けると、\(2x\;\)＜\(\;4\)となり、不等号の向きは変わらない。
例えば、\(x\;\)＜\(\;2\)の両辺を\(2\)で割ると、\(\frac{1}{2}x\;\)＜\(\;1\)となり、不等号の向きは変わらない。
また、
不等式の両辺に同じ負の数を掛けたり、両辺を同じ負の数で割ったりすると、不等号の向きが変わるということ。
例えば、\(x\;\)＜\(\;2\)の両辺に\(-2\)を掛けると、\(-2x\;\)＞\(\;-4\)となり、不等号の向きが変わる。
例えば、\(x\;\)＜\(\;2\)の両辺を\(-2\)で割ると、\(-\frac{1}{2}x\;\)＞\(\;-1\)となり、不等号の向きが変わる。
負の数のときは不等号の向きが変わることに超注意。
これが不等式の性質２．。

不等式の表現

\(a\;\)＜\(\;b\)と\(b\;\)＜\(\;c\)が同時に成り立つ場合 \(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\) って表すことができる。
例えば、\(0\;\)＜\(\;x\)と\(x\;\)＜\(\;2\)が同時に成り立つ場合 \(0\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\) って表すことができる。
逆に言えば、「\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)」とは「\(a\;\)＜\(\;b\)かつ\(b\;\)＜\(\;c\)」という意味。
意外と忘れがちな表現の仕方のお話。

不等式の応用

\(a\;\)＜\(\;b\)と\(b\;\)＜\(\;c\)が同時に成り立つ場合 \(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\) って表すことができる、ということを踏まえて不等式の応用も確認しておく。
確認する不等式の応用は

と

これ。

不等式の応用１．

例えば、\(0\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)となっている場合、\(0\;\)＜\(\;x\)と\(x\;\)＜\(\;2\)が同時に成り立つ。
不等式の性質１．\(a\;\)＜\(\;b\)　ならば　\(a+c\;\)＜\(\;b+c\)　より
\(0\;\)＜\(\;x\)の両辺に\(1\)を加えると、\(1\;\)＜\(\;x+1\)
\(x\;\)＜\(\;2\)の両辺に\(1\)を加えると、\(x+1\;\)＜\(\;3\)となる。
\(1\;\)＜\(\;x+1\)と\(x+1\;\)＜\(\;3\)が同時に成り立つので \(1\;\)＜\(\;x+1\;\)＜\(\;3\) って表すことができる。
不等式の式の値の範囲でもやったように、
\(0\;\)＜\(\;x\)と\(x\;\)＜\(\;2\)ともに「両辺に\(1\)を加える」とやっていることは同じなので、一つの不等式の中で計算することができる。

こんな感じ。
不等式の性質１．は、不等式の両辺に同じ数を加えても、両辺から同じ数を引いても、不等号の向きは変わらないので、すべての辺から同じ数を引く場合にも使える。
これを一般化すると
不等式の応用１．
\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)　ならば　\(a+d\;\)＜\(\;b+d\;\)＜\(\;c+d\)，\(a-d\;\)＜\(\;b-d\;\)＜\(\;c-d\)
ということが成り立つ。
すべての辺に同じ数を加えたり引いたりしても、不等号の向きは変わらないということ。

不等式の応用２．

例えば、\(1\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)となっている場合、\(1\;\)＜\(\;x\)と\(x\;\)＜\(\;2\)が同時に成り立つ。
不等式の性質２．\(a\;\)＜\(\;b\)，\(c\;\)＞\(\;0\)　ならば　\(ac\;\)＜\(\;bc\)　より
\(1\;\)＜\(\;x\)の両辺に\(2\)を掛けると、\(2\;\)＜\(\;2x\)
\(x\;\)＜\(\;2\)の両辺に\(2\)を掛けると、\(2x\;\)＜\(\;4\)となる。
\(2\;\)＜\(\;2x\)と\(2x\;\)＜\(\;4\)が同時に成り立つので \(2\;\)＜\(\;2x\;\)＜\(\;4\) って表すことができる。
不等式の式の値の範囲でもやったように、
\(1\;\)＜\(\;x\)と\(x\;\)＜\(\;2\)ともに「両辺に\(2\)を掛ける」とやっていることは同じなので、一つの不等式の中で計算することができる。

不等式の性質２．は、不等式の両辺に同じ正の数を掛けても、両辺を同じ正の数で割っても、不等号の向きは変わらないので、すべての辺を同じ正の数で割る場合にも使える。
これを一般化すると
\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)，\(d\;\)＞\(\;0\)　ならば　\(ad\;\)＜\(\;bd\;\)＜\(\;cd\)，\(\frac{a}{d}\;\)＜\(\;\frac{b}{d}\;\)＜\(\;\frac{c}{d}\)
ということが成り立つ。
すべての辺に同じ正の数を掛けたり割ったりしても、不等号の向きは変わらないということ。

また、例えば、\(1\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)となっている場合、\(1\;\)＜\(\;x\)と\(x\;\)＜\(\;2\)が同時に成り立つ。
不等式の性質２．\(a\;\)＜\(\;b\)，\(c\;\)＜\(\;0\)　ならば　\(ac\;\)＞\(\;bc\)　より
\(1\;\)＜\(\;x\)の両辺に\(-2\)を掛けると、\(-2\;\)＞\(\;-2x\)
\(x\;\)＜\(\;2\)の両辺に\(-2\)を掛けると、\(-2x\;\)＞\(\;-4\)となる。
不等号の向きが変わることに超注意。
\(-2\;\)＞\(\;-2x\)と\(-2x\;\)＞\(\;-4\)が同時に成り立つので
\(-2\;\)＞\(\;-2x\;\)＞\(\;-4\)となり、右側が大きくなるように不等号の向きを決めると \(-4\;\)＜\(\;-2x\;\)＜\(\;-2\) って表すことができる。
これも\(1\;\)＜\(\;x\)と\(x\;\)＜\(\;2\)ともに「両辺に\(-2\)を掛ける」とやっていることは同じなので、一つの不等式の中で計算することができる。

こんな感じ。
不等号の向きに超注意。
不等式の性質２．は、不等式の両辺に同じ負の数を掛けたり、両辺を同じ負の数で割ったりすると、不等号の向きが変わるので、すべての辺を同じ負の数で割る場合にも使える。
これを一般化すると
\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)，\(d\;\)＜\(\;0\)　ならば　\(ad\;\)＞\(\;bd\;\)＞\(\;cd\)，\(\frac{a}{d}\;\)＞\(\;\frac{b}{d}\;\)＞\(\;\frac{c}{d}\)
ということが成り立つ。
すべての辺に同じ負の数を掛けたり割ったりすると、不等号の向きが変わるということ。
正の数のときと負の数のときをまとめると
不等式の応用２．
\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)，\(d\;\)＞\(\;0\)　ならば　\(ad\;\)＜\(\;bd\;\)＜\(\;cd\)，\(\frac{a}{d}\;\)＜\(\;\frac{b}{d}\;\)＜\(\;\frac{c}{d}\)
\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)，\(d\;\)＜\(\;0\)　ならば　\(ad\;\)＞\(\;bd\;\)＞\(\;cd\)，\(\frac{a}{d}\;\)＞\(\;\frac{b}{d}\;\)＞\(\;\frac{c}{d}\)
こんな感じ。

他の応用

「\(A\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;B\)」と「\(C\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;D\)」を足し算したり引き算したりできるのか？というお話。
例えば、\(1\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)，\(3\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;4\)のとき、\(x+y\)という式の値の範囲を考えてみる。
不等式の応用１．\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)　ならば　\(a+d\;\)＜\(\;b+d\;\)＜\(\;c+d\)　より
与式\(1\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)のすべての辺に\(y\)を加える。 \(1+y\;\)＜\(\;x+y\;\)＜\(\;2+y\) こんな感じ。
\(1+y\;\)＜\(\;x+y\;\)＜\(\;2+y\)は
\(1+y\;\)＜\(\;x+y\)･･･①
\(x+y\;\)＜\(\;2+y\)･･･②
この①と②が同時に成り立つ。
次に与式\(3\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;4\)より、\(3\;\)＜\(\;y\)と\(y\;\)＜\(\;4\)が同時に成り立つことを利用する。
\(3\;\)＜\(\;y\)について

\(y\;\)＜\(\;4\)について

こんな感じ。
これで、
\(1+y\;\)＜\(\;x+y\;\)･･･①
\(x+y\;\)＜\(\;2+y\;\)･･･②
\(\:\:\:\:\:\:\:\:4\;\)＜\(\;1+y\;\)･･･③
\(2+y\;\)＜\(\;6\:\:\:\:\:\:\:\:\;\)･･･④
という材料がそろった。
①と③に注目

②と④に注目

⑤\(4\;\)＜\(\;x+y\)と⑥\(x+y\;\)＜\(\;6\)が同時に成り立つので、 \(4\;\)＜\(\;x+y\;\)＜\(\;6\) と表すことができる。
これで\(x+y\)という式の値の範囲を求めることができた。
流れとして

こんな感じ。
\(1\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)，\(3\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;4\)ならば、\(4\;\)＜\(\;x+y\;\)＜\(\;6\)
ということができる。
これを一般化すると
\(A\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;B\)，\(C\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;D\)　ならば　\(A+C\;\)＜\(\;x+y\;\)＜\(\;B+D\)
ということが成り立つ。

今度は、\(1\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)，\(3\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;4\)のとき、\(x-y\)という式の値の範囲を考えてみる。
不等式の応用１．\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)　ならば　\(a-d\;\)＜\(\;b-d\;\)＜\(\;c-d\)　より
与式\(1\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)のすべての辺から\(y\)を引く。 \(1-y\;\)＜\(\;x-y\;\)＜\(\;2-y\) こんな感じ。
\(1-y\;\)＜\(\;x-y\;\)＜\(\;2-y\)は
\(1-y\;\)＜\(\;x-y\)･･･①
\(x-y\;\)＜\(\;2-y\)･･･②
この①と②が同時に成り立つ。
次に与式\(3\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;4\)より、\(3\;\)＜\(\;y\)と\(y\;\)＜\(\;4\)が同時に成り立つことを利用する。
\(y\;\)＜\(\;4\)について

\(3\;\)＜\(\;y\)について

こんな感じ。
これで、
\(1-y\;\)＜\(\;x-y\;\)･･･①
\(x-y\;\)＜\(\;2-y\;\)･･･②
\(\:\:\:\:\,-3\;\)＜\(\;1-y\;\)･･･③
\(2-y\;\)＜\(\;-1\:\:\:\:\,\;\)･･･④
という材料がそろった。
①と③に注目

②と④に注目

⑤\(-3\;\)＜\(\;x-y\)と⑥\(x-y\;\)＜\(\;-1\)が同時に成り立つので、 \(-3\;\)＜\(\;x-y\;\)＜\(\;-1\) と表すことができる。
これで\(x-y\)という式の値の範囲を求めることができた。
流れとして

こんな感じ。
\(1\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;2\)，\(3\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;4\)ならば、\(-3\;\)＜\(\;x-y\;\)＜\(\;-1\)
ということができる。
これを一般化すると
\(A\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;B\)，\(C\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;D\)　ならば　\(A-D\;\)＜\(\;x-y\;\)＜\(\;B-C\)
ということが成り立つ。
マイナスの式がプラスの式と少し違うのは、マイナスを掛けて符号が反転した状態で式を合わせたため。
\(C\;\)＜\(\;y\;\)＜\(\;D\)に注目して

\(A\;\)＜\(\;x\;\)＜\(\;B\)と\(-D\;\)＜\(\;-y\;\)＜\(\;-C\)を合わせて \(A-D\;\)＜\(\;x-y\;\)＜\(\;B-C\) ってなる感じ。
これで

という法則が成り立つということが分かった。

不等式の2乗

ようやく本題。
不等式の両辺を2乗するとどうなるのか、そもそも2乗できるのか。
つまり、「\(a\;\)＜\(\;b\)のとき、\(a^2\)と\(b^2\)の大小関係」はどうなるのかを考えていく。
どうやら場合分けをしながら考えなきゃいけないみたい。
考える場合分けとして
１．\(a\;\)＞\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)のとき
２．\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)のとき
３．\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＜\(\;0\)のとき
この３パターン。
イメージは

こんな感じ。

不等式の2乗１．

\(a\)も\(b\)も正の数、つまり\(a\;\)＞\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)のときはどうなるのか考える。
条件としては\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＞\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)の３つ。

\(a^2\;\)＜\(\;ab\)、\(ab\;\)＜\(\;b^2\)なので
不等式の性質０．\(a\;\)＜\(\;b\)，\(b\;\)＜\(\;c\)　ならば　\(a\;\)＜\(\;c\)　より \(a^2\;\)＜\(\;b^2\) こんな感じになる。
これを一般化すると
不等式の2乗１．
\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＞\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)　ならば　\(a^2\;\)＜\(\;b^2\)
ということが成り立つ。
\(a\)も\(b\)も正の数ならば、両辺を2乗しても、不等号の向きは変わらないということ。

不等式の2乗２．

\(a\)は負の数、\(b\)は正の数、つまり\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)のときはどうなるのか考える。
この場合は更に3パターンの場合分けが必要になる。

こんな感じ。
\(a\)と\(b\)を比べて、どちらが\(0\)から離れた数なのかということ。
\(0\)からの距離を表すために絶対値を使う。
それが「\(|a|\;\)＜\(\;|b|\)」「\(|a|=|b|\)」「\(|a|\;\)＞\(\;|b|\)」の3パターン。
絶対値の性質として、 \(A\;\)≧\(\;0\)のとき\(|A|=A\)
\(A\;\)＜\(\;0\)のとき\(|A|=-A\) というのがあるので \(a\;\)＜\(\;0\)なので\(|a|=-a\)
\(b\;\)＞\(\;0\)なので\(|b|=b\) っていうことができることを利用して考えていく。

\(|a|\;\)＜\(\;|b|\)のとき
\(a\)より\(b\)の方が\(0\)から離れた数の場合を考えていく。
条件としては\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|\;\)＜\(\;|b|\)の4つ。
まず\(|a|\;\)＜\(\;|b|\)の両辺に\(|a|\)を掛ける。
絶対値は必ずプラスになるので、両辺に掛ける\(|a|\)は\(|a|\;\)＞\(\;0\)ということになる。

次に\(|a|\;\)＜\(\;|b|\)の両辺に\(|b|\)を掛ける。
絶対値は必ずプラスになるので、両辺に掛ける\(|b|\)は\(|b|\;\)＞\(\;0\)ということになる。

\(a^2\;\)＜\(\;-ab\)、\(-ab\;\)＜\(\;b^2\)なので
不等式の性質０．\(a\;\)＜\(\;b\)，\(b\;\)＜\(\;c\)　ならば　\(a\;\)＜\(\;c\)　より \(a^2\;\)＜\(\;b^2\) こんな感じになる。
これを一般化すると
\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|\;\)＜\(\;|b|\)　ならば　\(a^2\;\)＜\(\;b^2\)
ということが成り立つ。
\(a\)は負の数、\(b\)は正の数、\(a\)より\(b\)の方が\(0\)から離れた数ならば、両辺を2乗すると、不等号の向きは変わらないということ。

\(|a|=|b|\)のとき
\(a\)と\(b\)両方とも同じだけ\(0\)から離れた数の場合を考えていく。
条件としては\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|=|b|\)の4つ。
まず\(|a|=|b|\)の両辺に\(|a|\)を掛ける。

次に\(|a|=|b|\)の両辺に\(|b|\)を掛ける。

\(a^2=-ab\)、\(-ab=b^2\)なので \(a^2=b^2\) こんな感じになる。
これを一般化すると
\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|=|b|\)　ならば　\(a^2=b^2\)
ということが成り立つ。
\(a\)は負の数、\(b\)は正の数、\(a\)と\(b\)両方とも同じだけ\(0\)から離れた数ならば、両辺を2乗すると、等号になるということ。

\(|a|\;\)＞\(\;|b|\)のとき
\(b\)より\(a\)の方が\(0\)から離れた数の場合から考えていく。
条件としては\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|\;\)＞\(\;|b|\)の4つ。
まず\(|a|\;\)＞\(\;|b|\)の両辺に\(|a|\)を掛ける。
絶対値は必ずプラスになるので、両辺に掛ける\(|a|\)は\(|a|\;\)＞\(\;0\)ということになる。

次に\(|a|\;\)＞\(\;|b|\)の両辺に\(|b|\)を掛ける。
絶対値は必ずプラスになるので、両辺に掛ける\(|b|\)は\(|b|\;\)＞\(\;0\)ということになる。

\(a^2\;\)＞\(\;-ab\)、\(-ab\;\)＞\(\;b^2\)なので
不等式の性質０．\(a\;\)＜\(\;b\)，\(b\;\)＜\(\;c\)　ならば　\(a\;\)＜\(\;c\)　より \(a^2\;\)＞\(\;b^2\) こんな感じになる。
これを一般化すると
\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|\;\)＞\(\;|b|\)　ならば　\(a^2\;\)＞\(\;b^2\)
ということが成り立つ。
\(a\)は負の数、\(b\)は正の数、\(b\)より\(a\)の方が\(0\)から離れた数ならば、両辺を2乗すると、不等号の向きは変わるということ。
「\(|a|\;\)＜\(\;|b|\)」「\(|a|=|b|\)」「\(|a|\;\)＞\(\;|b|\)」をまとめると
不等式の2乗２．
\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|\;\)＜\(\;|b|\)　ならば　\(a^2\;\)＜\(\;b^2\)
\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|=|b|\)　ならば　\(a^2=b^2\)
\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＞\(\;0\)，\(|a|\;\)＞\(\;|b|\)　ならば　\(a^2\;\)＞\(\;b^2\)
こんな感じ。

不等式の2乗３．

\(a\)も\(b\)も負の数、つまり\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＜\(\;0\)のときはどうなるのか考える。
条件としては\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＜\(\;0\)の３つ。

\(a^2\;\)＞\(\;ab\)、\(ab\;\)＞\(\;b^2\)なので
不等式の性質０．\(a\;\)＜\(\;b\)，\(b\;\)＜\(\;c\)　ならば　\(a\;\)＜\(\;c\)　より \(a^2\;\)＞\(\;b^2\) こんな感じになる。
これを一般化すると
不等式の2乗３．
\(a\;\)＜\(\;b\)，\(a\;\)＜\(\;0\)，\(b\;\)＜\(\;0\)ならば\(a^2\;\)＜\(\;b^2\)
ということが成り立つ。
\(a\)も\(b\)も負の数ならば、両辺を2乗すると、不等号の向きが変わるということ。

不等式の2乗をまとめると

こんな感じ。
順番に見てみると

こんな感じ。
結局は0から遠い方が2乗したとき大きくなっているという法則があるイメージ。
つまり「\(|a|\)と\(|b|\)の大小関係さえ分かっていれば2乗したときの大小関係も分かる」ということができる。
ということで、

こんな感じにまとめることができそう。
これが不等式を2乗するやり方。

定義を知る

不等式の性質

不等式の応用

不等式の2乗

絶対値の性質	\(A\;\)≧\(\;0\)のとき\(\|A\|=A\) \(A\;\)＜\(\;0\)のとき\(\|A\|=-A\)
不等式の表現	\(a\;\)＜\(\;b\)と\(b\;\)＜\(\;c\)が同時に成り立つ場合「\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)」って表すことができる。「\(a\;\)＜\(\;b\;\)＜\(\;c\)」とは「\(a\;\)＜\(\;b\)かつ\(b\;\)＜\(\;c\)」という意味。