【2次関数の決定】軸や頂点から解く

2次関数の決定には主に3種類の式の形を使う。
１．一般形：\(y=ax^2+bx+c\)
２．頂点形：\(y=a(x-p)^2+q\)
３．因数分解形：\(y=a(x-r)(x-s)\)
軸と2点がわかっている場合や頂点と1点がわかっている場合、頂点形から求めるのが基本となる。

軸というのは、放物線の対称軸のこと。
放物線\(y=x^2\)の軸は\(y\)軸となる。

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軸と2点がわかっている場合

2次関数を決定するのに、軸と2点がわかっている場合、頂点形を使って求める。
頂点形\(y=a(x-p)^2+q\)でいう直線\(x=p\)が軸になるので、\(p=1\)ということがわかる。

\(y=a(x-p)^2+q\)
\(y=a(x-1)^2+q\)

\(a,q\)を求めるために、各点を式に代入し、連立2元1次方程式を作る。

頂点と1点がわかっている場合

2次関数を決定するのに、頂点と1点がわかっている場合、頂点形を使って求める。
頂点形\(y=a(x-p)^2+q\)でいうと頂点\((p,q)\)なので、\(p=-2,q=-4\)ということがわかる。

\(y=a(x-p)^2+q\)
\(y=a(x+2)^2-4\)

\(a\)を求めるために、点\((-1,-2)\)を式に代入する。

例題

例題を解きながら、2次関数の決定のやり方を確認する。

例題1

頂点形\(y=a(x-p)^2+q\)でいう直線\(x=p\)が軸になるので、\(p=3\)ということがわかる。

\(y=a(x-p)^2+q\)
\(y=a(x-3)^2+q\)

\(a,q\)を求めるために、各点を式に代入し、連立2元1次方程式を作る。

例題2

放物線\(y=x^2+2x+2\)を平行移動したものなので、\(y=a(x-p)^2+q\)において\(a=1\)ということがわかる。
頂点が直線\(y=-2x+4\)上にあるので、頂点\((p,q)\)において\(q=-2p+4\)となり頂点\((p,-2p+4)\)と表すことができる。
\(a=1,q=-2p+4\)を頂点形\(y=a(x-p)^2+q\)に代入する。

\(y=a(x-p)^2+q\)
\(y=(x-p)^2-2p+4\)

\(p\)を求めるため、点\((2,-1)\)を代入する。

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まとめ