すうがくのいえ 
2次関数の決定には主に3種類の式の形を使う。
１．一般形：\(y=ax^2+bx+c\)
２．頂点形：\(y=a(x-p)^2+q\)
３．因数分解形：\(y=a(x-r)(x-s)\)
3点の座標がわかっている場合や\(x^2\)の係数\(a\)と2点がわかっている場合、一般形から求めるのが基本となる。
\(a\)がわかるケースとして、例えば平行移動がある。
平行移動とは、簡単に言うとグラフの形（開き具合）が変わらず、位置だけが動くこと。
2次関数でいう「形」を決めるのは\(x^2\)の係数\(a\)なので、平行移動では\(a\)が一定のまま。
つまり、一般形・頂点形・因数分解形のいずれでも、\(a\)が変わらないのが特徴。
2次関数のグラフの平行移動
一般形\(y=ax^2+bx+c\)の係数\((a,b,c)\)を求めるために、各点を式に代入し、連立3元1次方程式を作る。
【連立3元1次方程式】文字が3つの連立方程式の解き方
平行移動では\(a\)が一定のままなので、\(y=2x^2\)から\(a=2\)ということが分かる。
\(a=2\)を代入した一般形\(y=2x^2+bx+c\)の定数\(b,c\)を求めるために、各点を式に代入し、連立2元1次方程式を作る。
例題を解きながら、2次関数の決定のやり方を確認する。
一般形\(y=ax^2+bx+c\)の係数\((a,b,c)\)を求めるために、各点を式に代入し、連立3元1次方程式を作る。
\(x\)を\(x+1\)、\(y\)を\(y-2\)に置き換えて平行移動後の方程式を導出する。
☆放物線の移動
点\((a,b)\)を\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ移動した点の座標が\((a+p,b+q)\)になるからといって、曲線の移動で移動後の方程式にそのまま置き換えて\(y+q=a(x+p)^2+b(x+p)+c\)とはならない。平行移動する前の方程式を置き換えて式に表すので\(y-q=a(x-p)^2+b(x-p)+c\)という感じにマイナスになる。
| 与えられた条件をもとに2次関数の具体的な式を求めること | |
| \(y=ax^2+bx+c\) 係数\((a,b,c)\)を使って2次関数を表す最も汎用的な形 |
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| \(y=a(x-p)^2+q\) 頂点の位置が明確で、グラフの形状を把握しやすい形 |
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| \(y=a(x-r)(x-s)\) 根（\(x\)軸との交点）がわかりやすい形 |
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| 3つの変数を持つ3つの1次方程式 | |
| グラフの形（開き具合）が変わらず、位置だけが動くこと |
１．一般形：\(y=ax^2+bx+c\)
２．頂点形：\(y=a(x-p)^2+q\)
３．因数分解形：\(y=a(x-r)(x-s)\)
の3種類が主に使われる。
そのうち、3点の座標がわかっている場合や\(x^2\)の係数\(a\)と2点がわかっている場合に、一般形から求めるのが基本と覚えておきたい。
グラフの平行移動では、\(a\)が一定のままということも押さえておきたい。
