倍数の判定方法｜何の倍数かを見分けるコツ

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =2(500a+50b+5c)+d\end{array}\)
となる。\(2(500a+50b+5c)\)は\(2\)で割り切れるので、整数を\(2\)で割ったときの余りは\(d\)を\(2\)で割ったときの余りと一致する。なので、整数が\(2\)の倍数であるための条件は、\(d\)が偶数であることとなる。よって、一の位が偶数であれば、その整数は\(2\)の倍数である。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d\\ =999a+99b+9c+a+b+c+d\\ =3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)\end{array}\)
となる。\(3(333a+33b+3c)\)は\(3\)で割り切れるので、整数を\(3\)で割ったときの余りは\((a+b+c+d)\)を\(3\)で割ったときの余りと一致する。なので、整数が\(3\)の倍数であるための条件は、\((a+b+c+d)\)が\(3\)の倍数であることとなる。よって、各位の数字の和が\(3\)の倍数であれば、その整数は\(3\)の倍数である。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =4(250a+25b)+(10c+d)\end{array}\)
となる。\(4(250a+25b)\)は\(4\)で割り切れるので、整数を\(4\)で割ったときの余りは\((10c+d)\)を\(4\)で割ったときの余りと一致する。なので、整数が\(4\)の倍数であるための条件は、\((10c+d)\)が\(4\)の倍数であることとなる。この\((10c+d)\)というのは下２桁でできる数を表しているので、下２桁が\(4\)の倍数であれば、その整数は\(4\)の倍数である。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =5(200a+20b+2c)+d\end{array}\)
となる。\(5(200a+20b+2c)\)は\(5\)で割り切れるので、整数を\(5\)で割ったときの余りは\(d\)を\(5\)で割ったときの余りと一致する。なので、整数が\(5\)の倍数であるための条件は、\(d\)が\(0\)または\(5\)であることとなる。よって、一の位が\(0\)または\(5\)であれば、その整数は\(5\)の倍数である。なお、\(0\)も\(5\)の倍数なので、「一の位が\(5\)の倍数であれば\(5\)の倍数となる」としても数学的には正しい。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =2(500a+50b+5c)+d\end{array}\)
となる。\(2(500a+50b+5c)\)は\(2\)で割り切れるので、整数を\(2\)で割ったときの余りは\(d\)を\(2\)で割ったときの余りと一致する。なので、整数が\(2\)の倍数であるための条件は、\(d\)が偶数であることとなる。よって、一の位が偶数であれば、その整数は\(2\)の倍数である。 \(6\)は、\(2×3\)と表すことができ、\(2\)と\(3\)は\(1\)以外に共通の約数をもたない（互いに素）。そのため、ある整数が\(6\)の倍数であることは、\(2\)で割り切れ、かつ\(3\)でも割り切れることと同じであるといえる。つまり、整数が\(6\)の倍数であるための条件は、
・一の位が偶数であること
・各位の数字の和が\(3\)の倍数であること
の両方を満たすこととなる。よって、\(2\)の倍数かつ\(3\)の倍数であれば、その整数は\(6\)の倍数である。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =1000a+100b+10c-20d+21d\\ =10(100a+10b+c-2d)+21d\end{array}\)
となる。\(21d\)は\(7\)で割り切れるので、整数を\(7\)で割ったときの余りは\(10(100a+10b+c-2d)\)を\(7\)で割ったときの余りと一致する。\(7\)と\(10\)は\(1\)以外に共通の約数をもたない（互いに素）ため、\(10(100a+10b+c−2d)\)が\(7\)の倍数となるには、\((100a+10b+c−2d)\)が\(7\)の倍数である必要がある（例えば、\(10×A\)が\(7\)の倍数となるには、\(10\)には\(7\)の因数が含まれていないため、\(A\)が\(7\)の倍数である必要がある）。なので、整数が\(7\)の倍数であるための条件は、\((100a+10b+c−2d)\)が\(7\)の倍数であることとなる。この\((100a+10b+c−2d)\)というのは一の位を2倍した数を残りの数から引いた結果を表しているので、一の位を2倍した数を残りの数から引いた結果が\(7\)の倍数であれば、その整数は\(7\)の倍数である。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =8×125a+(100b+10c+d)\end{array}\)
となる。\(8×125a\)は\(8\)で割り切れるので、整数を\(8\)で割ったときの余りは\((100b+10c+d)\)を\(8\)で割ったときの余りと一致する。なので、整数が\(8\)の倍数であるための条件は、\((100b+10c+d)\)が\(8\)の倍数であることとなる。この\((100b+10c+d)\)というのは下３桁でできる数を表しているので、下３桁が\(8\)の倍数であれば、その整数は\(8\)の倍数である。

３桁の整数が\(8\)の倍数かどうかを調べる場合は、次のような方法を利用できる。

①近い\(8\)の倍数を利用する方法
調べたい整数に近い\(8\)の倍数を利用して、差が\(8\)の倍数になるかを確認する。例えば、\(960\)が\(8\)の倍数か調べる場合、\(800\)が\(8\)の倍数であることを利用して差を求めると \[960-800=160\] となり、\(160\)が\(8\)の倍数であれば\(960\)も\(8\)の倍数となることがわかる。\(160\)は \[160=8×20\] なので\(8\)の倍数であるため、\(960\)は\(8\)の倍数であることがわかる。また、\(1000\)も\(8\)の倍数なので \[960-1000=-40\] となり、\(-40\)が\(8\)の倍数であれば\(960\)も\(8\)の倍数となることがわかる。\(-40\)は \[-40=8×(-5)\] なので\(8\)の倍数であるため、\(960\)は\(8\)の倍数であることがわかる。こんな感じに、調べたい整数に近い\(8\)の倍数との差が\(8\)の倍数になるかを確認することで、３桁の整数が\(8\)の倍数かどうかを判定できる。\(200,400,600,800\)などの\(8\)の倍数を利用すると計算しやすい。\(456\)であれば、\(456-400=56\)となり、\(536\)であれば、\(536-600=-64\)となり、\(56\)も\(-64\)も\(8\)の倍数なので\(456\)も\(536\)も\(8\)の倍数であることがわかる。\(160\)が\(8\)の倍数であることに気づけたら\(960-160=800\)として\(800\)が\(8\)の倍数なので\(960\)も\(8\)の倍数と判定することもできる。

②\(4\)の倍数と\(2\)の倍数判定を利用する方法
\[8=4×2\] と表すことができるので、\(8\)の倍数であるためには、\(4\)の倍数であり、さらに\(4\)で割った結果が偶数である必要がある。例えば、\(960\)が\(8\)の倍数か調べる場合、まず下２桁の\(60\)は\(4\)の倍数なので、\(960\)は\(4\)の倍数であることがわかる。次に\(4\)で割って \[960÷4=240\] となり、\(240\)は偶数なので、\(960\)は\(8\)の倍数であることがわかる。こんな感じに、\(4\)の倍数判定と割り算の結果が偶数かどうかを組み合わせることで、\(8\)の倍数かどうかを判定することもできる。\(456\)であれば下２桁\(56\)は\(4\)の倍数なので\(4\)で割ると\(114\)という偶数になり、\(536\)であれば下２桁\(36\)は\(4\)の倍数なので\(4\)で割ると\(134\)という偶数になるため、\(456\)も\(536\)も\(8\)の倍数であることがわかる。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d\\ =999a+99b+9c+a+b+c+d\\ =9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)\end{array}\)
となる。\(9(111a+11b+c)\)は\(9\)で割り切れるので、整数を\(9\)で割ったときの余りは\((a+b+c+d)\)を\(9\)で割ったときの余りと一致する。なので、整数が\(9\)の倍数であるための条件は、\((a+b+c+d)\)が\(9\)の倍数であることとなる。よって、各位の数字の和が\(9\)の倍数であれば、その整数は\(9\)の倍数である。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =10(100a+10b+c)+d\end{array}\)
となる。\(10(100a+10b+c)\)は\(10\)で割り切れるので、整数を\(10\)で割ったときの余りは\(d\)を\(10\)で割ったときの余りと一致する。なので、整数が\(10\)の倍数であるための条件は、\(d\)が\(0\)であることとなる。よって、一の位が\(0\)であれば、その整数は\(10\)の倍数である。

整数を10進法で表すと、例えば４桁の整数は、 \[1000a+100b+10c+d\] ・\(a\)：千の位の数字 ・\(b\)：百の位の数字 ・\(c\)：十の位の数字 ・\(d\)：一の位の数字 と表すことができる。式変形すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\:1000a+100b+10c+d\\ =(1001-1)a+(99+1)b+(11-1)c+d\\ =1001a+99b+11c+(-a+b-c+d)\\ =11(91a+9b+c)+(-a+b-c+d)\end{array}\)
となる。\(11(91a+9b+c)\)は\(11\)で割り切れるので、整数を\(11\)で割ったときの余りは\((-a+b-c+d)\)を\(11\)で割ったときの余りと一致する。この\((-a+b-c+d)\)は、\((b+d)-(a+c)\)と表すことができる。つまり、
・\((b+d)\)：右から数えて奇数番目の位の数字の和
・\((a+c)\)：右から数えて偶数番目の位の数字の和
の差を表している。なので、整数が\(11\)の倍数であるための条件は、右から数えて奇数番目の位の数字の和と偶数番目の位の数字の和との差が\(11\)の倍数または\(0\)であることとなる。また、\(11\)の倍数に\(−1\)を掛けても\(11\)の倍数であるため、\((b+d)-(a+c)\)に\(−1\)を掛けた\((a+c)-(b+d)\)が\(11\)の倍数または\(0\)である場合も判定結果は変わらない。つまり、左から数えて奇数番目の位の数字の和と偶数番目の位の数字の和との差によっても判定することができる。よって、右または左から数えて奇数番目の位の数字の和と偶数番目の位の数字の和との差が\(11\)の倍数または\(0\)であれば、その整数は\(11\)の倍数である。なお、\(0\)も\(11\)の倍数なので、「差が\(11\)の倍数であれば\(11\)の倍数となる」としても数学的には正しい。

\(12\)は、\(3×4\)と表すことができ、\(3\)と\(4\)は\(1\)以外に共通の約数をもたない（互いに素）。そのため、ある整数が\(12\)の倍数であることは、\(3\)で割り切れ、かつ\(4\)でも割り切れることと同じであるといえる。つまり、整数が\(12\)の倍数であるための条件は、
・各位の数字の和が\(3\)の倍数であること
・下２桁が\(4\)の倍数であること
の両方を満たすこととなる。よって、\(3\)の倍数かつ\(4\)の倍数であれば、その整数は\(12\)の倍数である。