偶数・奇数の順列｜整数を作るときの考え方

数字を並べて整数を作る問題では、条件を満たす桁から先に決めると考えやすい。
偶数・奇数を作る問題では、一の位に注目することがポイントになる。

偶数・奇数は一の位で決まる
偶数の順列
奇数の順列
例題
- （１）6個の数字から4桁の奇数を作る
- （２）7個の数字から5桁の偶数を作る
定義を知る
まとめ

偶数・奇数は一の位で決まる

整数は、一の位の数字を見るだけで偶数か奇数かを判断することができる。
偶数は2で割り切ることができる整数、奇数は2で割り切れない整数をいう。
つまり

偶数は一の位が\(0,2,4,6,8\)
奇数は一の位が\(1,3,5,7,9\)

となる。
例えば

・\(8\)
・\(52\)
・\(734\)

は一の位が

・\(8\)
・\(2\)
・\(4\)

なので偶数。
一方

・\(5\)
・\(47\)
・\(981\)

は一の位が

・\(5\)
・\(7\)
・\(1\)

なので奇数。
数字を並べて偶数や奇数を作る問題では、一の位から考えることがポイントになる。

☆0は偶数なのか

偶数とは、\(2\)で割り切れる整数のこと。\(0\)を\(2\)で割ると \[0÷2=0\] となり、余りなく割り切れる。そのため、\(0\)は偶数に含まれる。

偶数の順列

例えば、 \[1,2,3\] の3個の数字から3桁の偶数を作るとき、全部で何個作れるかを考える。
まず、一の位は「\(2\)」の1通り。

百の位は一の位に使わなかった残り2個の数字から選ぶので2通り。

十の位は百・一の位に使わなかった残り1個の数字から選ぶので1通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

積の法則より1,2,3の3個の数字から3桁の偶数を作るとき、全部で2個作れることを表した画像

\[2×1×1=2\] よって 2個となる。

合わせて読みたい

和の法則と積の法則ってなに？場合の数の基本ルールまた、\(_nP_r\)を使って考えることもできる。
一の位は「\(2\)」の1通り。
残り2個の数字から百・十の位を選ぶことは、「2個から2個を選んで並べる順列」と考えられるので\(_2P_2\)通り。
それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

nPrを使って1,2,3の3個の数字から3桁の偶数を作るとき、全部で2個作れることを表した画像

\[_2P_2×1=2×1×1=2\] となり、2個と分かる。

合わせて読みたい

順列ってなに？nPrの計算のやり方

奇数の順列

奇数の順列も同じように考えることができる。
例えば、 \[1,2,3\] の3個の数字から3桁の奇数を作るとき、全部で何個作れるかを考える。
まず、一の位は「\(1,3\)」の2通り。

百の位は一の位に使わなかった残り2個の数字から選ぶので2通り。

十の位は百・一の位に使わなかった残り1個の数字から選ぶので1通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

積の法則より1,2,3の3個の数字から3桁の奇数を作るとき、全部で4個作れることを表した画像

\[2×1×2=4\] よって 4個となる。

また、\(_nP_r\)を使って考えることもできる。
一の位は「\(1,3\)」の2通り。
残り2個の数字から百・十の位を選ぶことは、「2個から2個を選んで並べる順列」と考えられるので\(_2P_2\)通り。
それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

nPrを使って1,2,3の3個の数字から3桁の奇数を作るとき、全部で4個作れることを表した画像

\[_2P_2×2=2×1×2=4\] となり、4個と分かる。

例題

例題を解きながら、偶数・奇数の順列の考え方を確認する。

（１）6個の数字から4桁の奇数を作る

\(1,2,3,4,5,6\)の6個の数字から4桁の奇数を作る。
まず一の位は\(1,3,5\)の3通り。

千の位は一の位に使わなかった残り5個の数字から選ぶので5通り。

百の位は千・一の位に使わなかった残り4個の数字から選ぶので4通り。

十の位は千・百・一の位に使わなかった残り3個の数字から選ぶので3通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

積の法則より1,2,3,4,5,6の6個の数字から4桁の奇数を作るとき、全部で180個作れることを表した画像

\[5×4×3×3=180\] よって 180個 これが答え。

また、\(_nP_r\)を使うと

一の位は\(1,3,5\)の3通り
残り5個の数字から千・百・十の位を選ぶことは、「5個から3個を選んで並べる順列」と考えられるので\(_5P_3\)通り

となり、それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

nPrを使って1,2,3,4,5,6の6個の数字から4桁の奇数を作るとき、全部で180個作れることを表した画像

\[_5P_3×3=5×4×3×3=180\] よって 180個 となる。

（２）7個の数字から5桁の偶数を作る

\(0,1,2,3,4,5,6\)の7個の数字から5桁の偶数を作る。
\(0\)が含まれているため

一の位が\(0\)のとき
一の位が\(2,4,6\)のとき

で場合分けをして考える。

・一の位が\(0\)のとき
まず一の位は\(0\)の1通り。

万の位は一の位に使わなかった残り6個の数字から選ぶので6通り。

千の位は万・一の位に使わなかった残り5個の数字から選ぶので5通り。

百の位は万・千・一の位に使わなかった残り4個の数字から選ぶので4通り。

十の位は万・千・百・一の位に使わなかった残り3個の数字から選ぶので3通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

積の法則より0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から5桁の偶数を作るとき、一の位が0の場合は360個作れることを表した画像

\[6×5×4×3×1=360\] となり 360個 \(_nP_r\)を使うと

一の位は\(0\)の1通り
残り6個の数字から万・千・百・十の位を選ぶことは、「6個から4個を選んで並べる順列」と考えられるので\(_6P_4\)通り

となり、それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

nPrを使って0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から5桁の偶数を作るとき、一の位が0の場合は360個作れることを表した画像

\[_6P_4×1=6×5×4×3×1=360\] となり 360個
・一の位が\(2,4,6\)のとき
まず一の位は\(2,4,6\)の3通り。

先頭の万の位は\(0\)にできず、\(0\)以外のうち一の位に使わなかった残り5個の数字から選ぶので5通り。

千の位は万・一の位に使わなかった残り5個の数字から選ぶので5通り。

百の位は万・千・一の位に使わなかった残り4個の数字から選ぶので4通り。

十の位は万・千・百・一の位に使わなかった残り3個の数字から選ぶので3通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

積の法則より0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から5桁の偶数を作るとき、一の位が2,4,6の場合は900個作れることを表した画像

\[5×5×4×3×3=900\] となり 900個 \(_nP_r\)を使うと

一の位は\(2,4,6\)の3通り
先頭の万の位は\(0\)以外のうち一の位に使わなかった数字が来るので5通り
残り5個の数字から千・百・十の位を選ぶことは、「5個から3個を選んで並べる順列」と考えられるので\(_5P_3\)通り

となり、それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

nPrを使って0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から5桁の偶数を作るとき、一の位が2,4,6の場合は900個作れることを表した画像

\[_5P_3×3=5×5×4×3×3=900\] となり 900個
「一の位が\(0\)のとき」と「一の位が\(2,4,6\)のとき」は、同時には起こらないので、和の法則より \[360+900=1260\] よって 1260個 これが答え。

合わせて読みたい

0を含む数字の順列｜整数を作るときの考え方

定義を知る

偶数	\(2\)で割り切ることができる整数一の位が\(0,2,4,6,8\)
奇数	\(2\)で割り切ることができない整数一の位が\(1,3,5,7,9\)
場合の数	ある事柄について、起こりうるすべての場合を、もれなく、重複することなく数え上げること
順列	いくつかのものを、順序をつけて1列に並べる配列
積の法則	それぞれの場合に対して次の場合があるとき、掛けて数える考え方
和の法則	同時には起こらない場合を足して数える考え方
\(_nP_r\)	異なる\(n\)個のものの中から\(r\)個を選んで1列に並べる順列の総数 \[_nP_r=n×(n-1)×(n-2)×\cdots×(n-r+1)\] \[_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\]

まとめ

数字を並べて偶数や奇数を作る問題では、一の位の数字に注目することが最も重要なポイント。
偶数なら一の位は\(0,2,4,6,8\)、奇数なら\(1,3,5,7,9\)になるように、まず条件を満たす一の位を決める。
そのあと残りの桁を順列として考えることで、積の法則や\(_nP_r\)を使って効率よく個数を求めることができる。
また、\(0\)を含む場合は、一の位が\(0\)になる場合と\(0\)以外の偶数になる場合で、先頭に\(0\)を置けるかどうかが変わるため、場合分けが必要になることもある。
こんな感じに、条件を満たさなければならない桁から先に決めることを意識すると、多くの順列の問題を考えやすくなる。