すうがくのいえ 
数字を並べて整数を作る問題では、条件を満たす並びから先に決めると考えやすい。
ある数より大きい・小さい整数を作る順列の問題では、大きい位から順番に比べて、大小が決まるところに注目することがポイントになる。
数直線では、右にある数ほど大きく、左にある数ほど小さい。
\(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\)という数字は、順番に大きくなっていく。
そのため、同じ位の数字を比べるときは、この順番を使って大小を判断できる。
整数の大小は、大きい位から順番に数字を比べ、最初に数字が異なる位で決まる。
例えば、\(327\)と\(315\)の大小関係について、百の位はどちらも\(3\)なので、十の位を比べる。
\(2\)は\(1\)より大きいので、 \[327>315\] と判断できる。
数字を並べて整数を作る問題でも、この考え方を利用して、どの位で大小が決まるかを考えながら、条件を満たす数字を先に決めていく。
例えば、\(1,2,3,4,5\)の5個の数字から異なる3個を選んで、\(300\)より大きい3桁の整数の個数を求める場合を考える。
\(300\)の百の位は\(3\)なので、\(3\)より大きい数字 \[4,5\] のいずれかなら、百の位だけで\(300\)より大きいことが決まる。
百の位は\(4,5\)の2通り。
十の位は、残った4個の数字から選ぶので4通り。
一の位は、残った3個の数字から選ぶので3通り。
つまり、十の位と一の位は異なる4個の数字から2個選んで並べるので\({}_4P_2\)通り。
なので \[2×{}_4P_2=2×4×3=24\] となり、24個。
こんな感じに、ある位で基準となる数より大きい数字を選べば、その後の位は自由に並べられる。
一方、百の位が\(3\)のとき、\(300\)の百の位と同じ数字なので、百の位だけでは大小が決まらない。
\(300\)の十の位は\(0\)なので、\(0\)より大きい数字 \[1,2,4,5\] のいずれかなら、十の位で\(300\)より大きいことが決まる。
百の位は\(3\)の1通り。
十の位は\(1,2,4,5\)の4通り。
一の位は、残った3個の数字から選ぶので3通り。
つまり、十の位と一の位は異なる4個の数字から2個選んで並べるので\({}_4P_2\)通り。
なので \[1×{}_4P_2=1×4×3=12\] となり、12個。
「百の位が\(4,5\)のとき」と「百の位が\(3\)のとき」は同時には起こらないので、和の法則より、 \[24+12=36\] となる。
よって、\(300\)より大きい3桁の整数は36個。
こんな感じに、基準となる数と同じ数字になった位では大小が決まらないため、次の位を比べる。
そして、大小が決まったら、残りの位は残った数字の順列として考えることができる。
和の法則と積の法則ってなに？場合の数の基本ルール
例えば、\(1,2,3,4,5\)の5個の数字から異なる3個を選んで、\(300\)より小さい3桁の整数の個数を求める場合を考える。
\(300\)の百の位は\(3\)なので、\(3\)より小さい数字 \[1,2\] のいずれかなら、百の位だけで\(300\)より小さいことが決まる。
百の位は\(1,2\)の2通り。
十の位は、残った4個の数字から選ぶので4通り。
一の位は、残った3個の数字から選ぶので3通り。
つまり、十の位と一の位は異なる4個の数字から2個選んで並べるので\({}_4P_2\)通り。
なので \[2×{}_4P_2=2×4×3=24\] となり、24個。
こんな感じに、ある位で基準となる数より小さい数字を選べば、その後の位は自由に並べられる。
一方、百の位が\(3\)のとき、\(300\)の百の位と同じ数字なので、百の位だけでは大小が決まらない。
\(300\)の十の位は\(0\)なので、\(0\)より小さい数字はないため0通り。
よって、\(300\)より小さい3桁の整数は24個。
こんな感じに、基準となる数と同じ数字になった位では大小が決まらないため、次の位を比べる。
そして、大小が決まったら、残りの位は残った数字の順列として考えることができる。
例題を解きながら、ある数より大きい・小さい整数を作る順列の考え方を確認する。
千の位は\(3,4,5,6\)の4通り。
残りの3桁は、残った6個の数字から3個を選んで並べるので、\({}_6P_3\)通り。
なので、 \[4×{}_6P_3=4×6×5×4=480\] となり、480個。
千の位が\(2\)のとき、\(2500\)の千の位と同じ数字なので、百の位を比べる。
\(2500\)の百の位は\(5\)なので、百の位が\(5\)より大きい数字 \[6\] であれば、その時点で\(2500\)より大きいことが決まる。
千の位は\(2\)のみで1通り。
百の位は\(6\)のみで1通り。
残りの十の位と一の位は、残った5個の数字から2個を選んで並べるので、\({}_5P_2\)通り。
なので、 \[1×1×{}_5P_2=1×1×5×4=20\] となり、20個。
千の位が\(2\)、百の位が\(5\)のときは、千の位と百の位が\(2500\)と同じ数字なので、十の位を比べる。
\(2500\)の十の位は\(0\)なので、十の位が\(0\)より大きい数字 \[1,3,4,6\] のいずれかなら、十の位で\(2500\)より大きいことが決まる。
千の位は\(2\)の1通り。
百の位は\(5\)の1通り。
十の位は\(1,3,4,6\)の4通り。
一の位は、残った4個の数字から選ぶので4通り。
なので \[1×1×4×4=16\] となり、16個。
千の位が\(2\)、百の位が\(5\)、十の位が\(0\)のときは、千の位と百の位と十の位が\(2500\)と同じ数字なので、一の位を比べる。
\(2500\)の一の位は\(0\)なので、一の位が\(0\)より大きい数字 \[1,3,4,6\] のいずれかなら、一の位で\(2500\)より大きいことが決まる。
千の位は\(2\)の1通り。
百の位は\(5\)の1通り。
十の位は\(0\)の1通り。
一の位は、残った4個の数字から選ぶので4通り。
なので \[1×1×1×4=4\] となり、4個。
以上の場合は同時には起こらないので、和の法則より \[480+20+16+4=520\] よって
\(0\)は千の位に置くと4桁の整数にならないので、使えない。
千の位は\(1\)の1通り。
残りの3桁は、残った6個の数字から3個を選んで並べるので、\({}_6P_3\)通り。
なので、 \[1×{}_6P_3=1×6×5×4=120\] となり、120個。
千の位が\(2\)のとき、\(2500\)の千の位と同じ数字なので、百の位を比べる。
\(2500\)の百の位は\(5\)なので、百の位が\(5\)より小さい数字 \[0,1,3,4\] であれば、その時点で\(2500\)より小さいことが決まる。
千の位は\(2\)のみで1通り。
百の位は\(0,1,3,4\)の4通り。
残りの十の位と一の位は、残った5個の数字から2個を選んで並べるので、\({}_5P_2\)通り。
なので、 \[1×4×{}_5P_2=1×4×5×4=80\] となり、80個。
千の位が\(2\)、百の位が\(5\)のときは、千の位と百の位が\(2500\)と同じ数字なので、十の位を比べる。
\(2500\)の十の位は\(0\)なので、\(0\)より小さい数字はないため0個。
以上の場合は同時には起こらないので、和の法則より \[120+80=200\] よって
| ある事柄について、起こりうるすべての場合を、もれなく、重複することなく数え上げること | |
| いくつかのものを、順序をつけて1列に並べる配列 | |
| それぞれの場合に対して次の場合があるとき、掛けて数える考え方 | |
| 同時には起こらない場合を足して数える考え方 | |
| 異なる\(n\)個のものの中から\(r\)個を選んで1列に並べる順列の総数 \[_nP_r=n×(n-1)×(n-2)×\cdots×(n-r+1)\] \[_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\] |
ある数より大きい・小さい整数を作る順列では、大小が決まる位に注目して条件に合う並びを絞り込むことが重要になる。
ある数より大きい整数を作る場合は、基準となる数より大きい数字を選ぶ。
ある数より小さい整数を作る場合は、基準となる数より小さい数字を選ぶ。
基準となる数と同じ数字が続く場合は、次の位を比べる。
条件を満たす数字や位置を決めた後、残った部分を順列として数えるという流れが基本的な考え方になる。
ただ公式を使うのではなく、どの位で大小が決まるかを考えることが大事。
