0を含む数字の順列｜整数を作るときの考え方

数字を並べて整数を作る問題では、数字の全ての並び方をそのまま数えるだけでは解けないことがある。
その代表例が、\(0\)を含む数字から整数を作る問題。
このような問題では、先頭に\(0\)は置けないという前提で並び方を考える必要がある。

先頭に0は置けない？
0を含む数字の順列
例題
- （１）6個の数字から4桁の整数を作る
- （２）7個の数字から5桁の整数を作る
定義を知る
まとめ

先頭に0は置けない？

例えば、 \[0,1,2\] の3個の数字から2桁の整数を作ることを考える。
単純に\(0,1,2\)の3個から2個を選んで並べる順列を考えると

\(01\)
\(02\)
\(10\)
\(12\)
\(20\)
\(21\)

の6通りあるように見える。
だけど、
\(01\)
\(02\)
この2つは1桁の整数であって「2桁の整数」を満たしていない。
つまり、

数字を並べて整数を作る問題では、先頭には0を置くことができない

これが最も重要なポイントになる。

0を含む数字の順列

3個の数字から2桁の整数を作るとき、全部で何個作れるかを考えるためのフローチャート

さっきの \[0,1,2\] の3個の数字から2桁の整数を作るとき、全部で何個作れるかを考える。
十の位は整数の先頭で\(0\)は使えないので\(1,2\)の2通り。

一の位は十の位に使わなかった残り2個の数字から選ぶので2通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

積の法則より0,1,2の3個の数字から2桁の整数を作るとき、全部で4個作れることを表した画像

\[2×2=4\] よって 4個となる。

また、\(_nP_r\)を使って考えることもできる。
先頭の十の位だけは\(0\)以外の数字から選ぶので2通り。
残り2個の数字から一の位を選ぶことは、残り2個から1個を選んで並べる順列と考えられるので\(_2P_1\)通り。
それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

nPrを使って0,1,2の3個の数字から2桁の整数を作るとき、全部で4個作れることを表した画像

\[2×_2P_1=2×2=4\] となり、4個と分かる。

\(0\)を含む異なる\(n\)個の数字を重複することなく用いて\(r\)桁（\(r\)≦\(n\)）の整数を作るときは、「先頭の選び方」と「残りの並べ方」に分けて考えることができる。

先頭は\(0\)以外の数字から選ぶので\(n-1\)通り
残りの\(r-1\)桁は残った\(n-1\)個の数字から並べるので\(_{n-1}P_{r-1}\)通り

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より、その個数は \[(n-1)×_{n-1}P_{r-1}\] と表すことができる。
こんな感じに、条件を満たす位置を先に決め、残りを順列として考えるという流れで考えることができる。
今回は先頭に\(0\)を置けないため、先頭の桁を先に決めてから残りを並べたということになる。

合わせて読みたい

和の法則と積の法則ってなに？場合の数の基本ルール

順列ってなに？nPrの計算のやり方

例題

例題を解きながら、\(0\)を含む数字の順列の考え方を確認する。

（１）6個の数字から4桁の整数を作る

\(0,1,2,3,4,5\)の6個の数字から4桁の整数を作る。
まず先頭の千の位は\(0\)にできないので\(1,2,3,4,5\)の5通り。

百の位は千の位に使わなかった残り5個の数字から選ぶので5通り。

十の位は千・百の位に使わなかった残り4個の数字から選ぶので4通り。

一の位は千・百・十の位に使わなかった残り3個の数字から選ぶので3通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

積の法則より0,1,2,3,4,5の6個の数字から4桁の整数を作るとき、全部で300個作れることを表した画像

\[5×5×4×3=300\] よって 300個 これが答え。

また、\(_nP_r\)を使うと

先頭の千の位だけ特別に\(0\)以外の数字が来るので5通り
残り5個の数字から百・十・一の位を選ぶことは、「残り5個から3個を選んで並べる順列」と考えられるので\(_5P_3\)通り

となり、それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

nPrを使って0,1,2,3,4,5の6個の数字から4桁の整数を作るとき、全部で300個作れることを表した画像

\[5×_5P_3=5×5×4×3=300\] よって 300個 となる。

（２）7個の数字から5桁の整数を作る

\(0,1,2,3,4,5,6\)の7個の数字から5桁の整数を作る。
まず先頭の万の位は\(0\)にできないので\(1,2,3,4,5,6\)の6通り。

千の位は万の位に使わなかった残り6個の数字から選ぶので6通り。

百の位は万・千の位に使わなかった残り5個の数字から選ぶので5通り。

十の位は万・千・百の位に使わなかった残り4個の数字から選ぶので4通り。

一の位は万・千・百・十の位に使わなかった残り3個の数字から選ぶので3通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

積の法則より0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から5桁の整数を作るとき、全部で2160個作れることを表した画像

\[6×6×5×4×3=2160\] よって 2160個 これが答え。

また、\(_nP_r\)を使うと

先頭の万の位だけ特別に\(0\)以外の数字が来るので6通り
残り6個の数字から千・百・十・一の位を選ぶことは、「残り6個から4個を選んで並べる順列」と考えられるので\(_6P_4\)通り

となり、それぞれの場合に対して次の場合があるので、積の法則より

nPrを使って0,1,2,3,4,5,6の7個の数字から5桁の整数を作るとき、全部で2160個作れることを表した画像

\[6×_6P_4=6×6×5×4×3=2160\] よって 2160個 となる。

定義を知る

場合の数	ある事柄について、起こりうるすべての場合を、もれなく、重複することなく数え上げること
順列	いくつかのものを、順序をつけて1列に並べる配列
積の法則	それぞれの場合に対して次の場合があるとき、掛けて数える考え方
\(_nP_r\)	異なる\(n\)個のものの中から\(r\)個を選んで1列に並べる順列の総数 \[_nP_r=n×(n-1)×(n-2)×\cdots×(n-r+1)\] \[_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\]