順列ってなに？nPrの計算のやり方

順列とは、いくつかのものを、順序をつけて1列に並べる配列のこと。
例えば、\(A,B,C\)の3人が1列に並ぶときの並び方は

• \(ABC\)
• \(ACB\)
• \(BAC\)
• \(BCA\)
• \(CAB\)
• \(CBA\)

の6通り。
こんな感じに、順序をつけて1列に並べることを順列って呼ぶ。

樹形図を見ると、1番目は3通りある。
また、そのそれぞれに対して、2番目は2通りある。
さらに、残った1人が3番目になるので、3番目は1通りとなる。
ここから、積の法則より \[3×2×1=6\] となる。
積が連続する自然数となっているので \[3×2×1=3!\] と表せる。
こんな感じに、\(1\)からある数までの自然数を続けて掛け合わせる計算を簡単に表すために階乗を用いる。
一般化すると、自然数\(n\)の階乗\(n!\)は、\(1\)から\(n\)までの全ての自然数の積となり \[n!=n×(n-1)×(n-2)×⋯×3×2×1\] と表すことができる。
また、\(n=0\)のとき \[0!=1\] となる。
これは、後で出てくる\(_nP_r\)の公式が成り立つようにするため。
\(10!\)まで示すと

• \(0!=1\)
• \(1!=1\)
• \(2!=2×1=2\)
• \(3!=3×2×1=6\)
• \(4!=4×3×2×1=24\)
• \(5!=5×4×3×2×1=120\)
• \(6!=6×5×4×3×2×1=720\)
• \(7!=7×6×5×4×3×2×1=5040\)
• \(8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320\)
• \(9!=9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880\)
• \(10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800\)

こんな感じになる。
\(7!\)くらいまでは覚えておくと計算がかなり楽になる。

読み方は、「\(7!\)」であれば「\(7\)の階乗」と読む。
個人的には「\(7\)ビックリ」と呼んでいた。
記号「\(!\)」単体では「エクスクラメーションマーク」と呼んでいる。

樹形図を見ると、1番目は4通りある。
また、そのそれぞれに対して、2番目は3通りある。
さらに、残った1人が3番目になるので、3番目は2通りとなる。
ここから、積の法則より \[4×3×2=24\] となる。
こんな感じに、「異なる\(n\)個のものの中から\(r\)個を選んで1列に並べる順列」の総数を \[_nP_r\] と表す。
\(_nP_r\)は「エヌピーアール」や「エヌパーアール」と読むことが多い。
また、「\(P\)の\(n,r\)（ピーのエヌアール）」と読むこともある。
\(P\)は「Permutation（順列）」の頭文字。
\(_nP_r\)は

• 1番目のものは、\(n\)個の中から1つ選ぶので、選び方は\(n\)通り。
• 2番目のものは、既に選んだ1個を除いた残り\(n-1\)個の中から1つ選ぶので、選び方は\(n-1\)通り。
• 3番目のものは、既に選んだ2個を除いた残り\(n-2\)個の中から1つ選ぶので、選び方は\(n-2\)通り。
• \(\cdots\)
• \(r\)番目のものは、既に選んだ\(r−1\)個を除いた残り\(n−(r−1)\)個の中から1つ選ぶので、選び方は\(n−(r−1)\)通り。

それぞれの場合に対して次の場合があるので、「異なる\(n\)個のものの中から\(r\)個を選んで1列に並べる順列」の総数\(_nP_r\)は、積の法則より \[_nP_r=n×(n-1)×(n-2)×\cdots×(n-r+1)\] と表すことができ、\(n\)から始まって\(1\)ずつ小さい数の積が\(r\)個ある。
例えば、さっきの4人の中から3人を選んで1列に並べる順列の総数は \(_4P_3=4×3×2=24\)通り と表すことができ、\(4\)から始まって\(1\)ずつ小さい数の積が3個ある。
5人から3人を選んで1列に並べる順列の総数は \(_5P_3=5×4×3=60\)通り 異なる7個のものから2個を選んで1列に並べる順列の総数は \(_7P_2=7×6=42\)通り \(r=n\)のとき、異なる\(n\)個のものすべてを1列に並べる順列の総数 \[_nP_n=n×(n-1)×(n-2)×⋯×3×2×1\] となり、これはさっきやった階乗\(n!\)と同じなので、 \[_nP_n=n!\] が成り立つ。

また、\(_nP_r\)は階乗を使って表すこともできる。
分子を階乗\(n!\)の形にするため、分母と分子に\((n-r)!\)を掛けると

分子に注目すると、「\(1\)から\(n\)までの全ての自然数の積」になっている。
つまり、分子は\(n!\)なので \[_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}\] となる。
この式が\(r=n\)のとき \[_nP_n=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}\] となり、\(_nP_n=n!\)が成り立つようにするととても便利になる。
そのため \[0!=1\] と定めている。
また、\(r=0\)のとき \[_nP_0=\frac{n!}{(n-0)!}=\frac{n!}{n!}\] となり、 \[_nP_0=1\] が成り立つ。
これは「1個も選ばない」という1通りになるということ。