絶対値を含む方程式

方程式の中に絶対値が出てきたとき、単純に絶対値記号を外して計算するということはできない。
絶対値記号は、外すと「プラス」になるという性質がある。
この性質があるため、方程式の中に絶対値が出てきたとき、場合分けをして解かなければならない。

右辺が正の数のとき

まず、「|　　|＝正の数」の場合を考える。
絶対値の性質は、

なので、これを式と照らし合わせる。

こんな感じになる。
この「x≧－１」と「x＜ －１」の場合分けを使って解を求める。

順番に、まずは 「x≧－１」 から考えていく。

こんな感じになる。
ここで一旦、条件に合うかを確認する。
条件というのは 「x≧－１」 のこと。

この確認作業は忘れがちなので、忘れないようにしなきゃいけない。
次に 「x＜ －１」 を考えていく。

こんな感じになる。
ここで同じように、条件に合うかを確認する。
条件というのは 「x＜ －１」 のこと。

条件の確認作業を忘れずに。
答えは、

こんな感じ。

右辺が正の数のときの法則

絶対値を含む方程式で、右辺が正の数の場合はこんな感じの法則が成り立つ。

右辺が正の数とは限らないとき

この法則を頭に入れたうえで、右辺が正の数とは限らない場合を2パターン押さえておく。

右辺が正の数とは限らないとき①

この場合は、法則とかは考えず、場合分けをして考えなくてはいけない。
まずは、絶対値記号の中が「プラス」になる場合、

ここで条件の確認をする。

条件を満たすことが分かったので、一つの解を見つけることができた。
次に、絶対値記号の中が「マイナス」になる場合、

ここで条件の確認をする。

条件を満たさないということが分かったので、これは解にならない。
なので、今回の例題の不等式は、

これが解答になる。

右辺が正の数とは限らないとき②

絶対値が複数含まれている場合がある。
このときは、それぞれの絶対値に対して、
プラスになる場合とマイナスになる場合を考えなくてはいけない。

こんな感じ。
ここから、数字の大きいものから、場合分けしながら考えていく。

ここで条件の確認をする。

条件を満たすことが分かったので、一つの解を見つけることができた。
次に、

ここで条件の確認をする。

条件を満たさないということが分かったので、これは解にならない。
最後に、

ここで条件の確認をする。

条件を満たすことが分かったので、もう一つ解を見つけることができた。
なので、今回の例題の不等式は、

これが解答になる。

定義を知る

場合分けをするうえで、絶対値の性質を知っておく必要がある。

法則

まとめ

場合分けはできるようになっておきたい。
そのあとに忘れがちな、条件の確認をするようにする。
この、
①場合分け
②条件の確認
の２つステップを踏むことでで、絶対値を含む方程式を解くことができる。
全部一気にしようとせずに、順番に一つ一つ確実に押さえていこう。