絶対値って何？

絶対値が何かを知るためには、まず数直線を知る必要がある。

数直線とは

まず、一本の直線を引き、基準の点Oを決める。
次に、基準の点Oに実数０を置き、単位の長さ（１）とプラスの向きを決める。
とりあえず右方向がプラスで。

適当にどっか点を置く。その点（ポイント）を「P」ってことにする。

この点Pが基準の点Oよりも右側にあって、
適当な長さ、例えばaという長さのとき、

その点Pは「実数a」で表すことができる。

こんな感じ。
もし、その点Pが左側にあったとき、

その点Pは「実数－a」で表すことができる。

これが数直線。
右方向がプラスであることは、普段は直線の右端を矢印にすることで表す。

こんな感じ。

絶対値って何？

今作った数直線を使うと、数直線上で基準の点Oから点Pの間の距離のことを、「実数aの絶対値」と呼ぶ。
つまり、絶対値は点と点との距離のこと。
これが絶対値の考え方。

計算式の中で出てくる絶対値

絶対値の意味は点と点との距離ということが分かったけど、計算式の中で使うときはちょっと注意しなきゃいけない。
「絶対値」の本来の概念は、今数直線を描いて確認したように、点と点との距離だからプラスとかマイナスという数の領域的な概念はない。

でも、実際には計算中に、

こんな感じに　|　　|　という縦線の記号として絶対値が出てくる。
計算する以上、数に領域がなくては足したり引いたりできない。
なので、絶対値の記号を外すと基本的には「プラス」になる。
これが計算の中で出てくる絶対値。

本来、絶対値に数の領域的な概念はないけど、
計算の中で出てくる絶対値は、記号を外すとプラスになるという領域的な性質がある。

絶対値記号を外すとマイナスになることがある？

「計算の中で出てくる絶対値は、記号を外すとプラスになるという領域的な性質がある」と、今確認したばかりだけど、場合によってはマイナスを付けなければならない。
ボールを投げたとき、どこにボールが飛んで行ったか分からないことを想定して、「飛距離」をボールの位置から求めることを考える。
ボールの位置は「ｘ」とおく。

マイナス側の位置にあるので、ボールの位置は０より小さいことが分かる。

ここで、絶対値記号を外すとどうなるか考える。

「絶対値の記号を外すとプラスになる」から、
記号の中がマイナスの場合、記号の中に(－１)を掛けなくてはいけない。

これが絶対値記号を外すとマイナスになるパターン。

絶対値記号の中がマイナスのとき、
絶対値記号の中に－１を掛ける。

実際に数字を入れて、－50mの位置にボールがあった場合、

最後はちゃんとプラスになるということが分かる。

定義を知る

絶対値を知る前に、数直線を知らなくてはならない。
数直線上で基準の点Oから点Pの間の距離のことを、「実数aの絶対値」と呼ぶ。

まとめ

絶対値の由来は複素平面から来ているらしい。
とりあえず「絶対値は点と点との距離」って思っておけば問題なし。

ちなみに、
「相対」の対義語としての「絶対」と、
「決して・断じて」という「絶対」と、
「絶対」には二つの意味がある。

絶対値は「相対」の対義語としての「絶対」の意味。