2次不等式とは？グラフから理解する基本的な解き方

2次関数がある程度理解出来たら、2次不等式を解くことができるようになる。
答えを求める上で理解の助けとなるのがグラフ。
グラフの形は基本的に2次関数のグラフと同じ形になる。
なので、2次不等式を解いていく上で2次関数の理解が欠かせない。

2次不等式とは？
グラフで見る2次不等式
2次不等式の解き方
パターン化する
例題
定義を知る
まとめ

2次不等式とは？

2次不等式とは、2次式の不等式ということ。
2次式とは、最も次数の高い項の次数が「2」の式ということ。
不等式とは、数や式の大小関係を表す式のことで、数や式の大小関係は「不等号」という記号を使って表す。

左辺と右辺の値が等しいことを表す式を「等式」、左辺と右辺の値の大小関係を表す式を「不等式」と呼ぶ。

2次不等式は基本的に左辺が\(x\)の2次式、右辺が\(0\)、\(a,b,c\)は定数で\(a≠0\)の形が基本の形となる。 \(ax^2+bx+c\)＞\(0\) 例えば \(x^2-4x+3\)＞\(0\) こんな感じ。

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グラフで見る2次不等式

\(x\)についての不等式において、その不等式を満たす\(x\)の値を、その不等式の解と呼ぶ。
また、不等式の全ての解を求めることを不等式を解くと呼ぶ。
2次不等式は、2次関数のグラフと深い関係がある。
例えば、2次不等式\(x^2-4x+3\)＞\(0\)を考える場合、左辺から
\[y=x^2-4x+3\] と対応する関数のグラフを描いてみる。

こんな感じに\(a\)＞\(0\)なので下に凸の放物線になる。
\(x^2-4x+3\)＞\(0\)と\(y=x^2-4x+3\)から

となる。
\(y\)＞\(0\)というのは\(xy\)平面だけで見てみると

こんな感じに\(y\)軸の\(0\)より上、つまり\(x\)軸の上部分ということが分かる。
\(y=x^2-4x+3\)のグラフを反映させると

こんな感じ。
\(x\)軸よりも上にある\(x\)の範囲が、元の不等式の「解」になる。

こんな感じ。
順番に流れを見てみると

こんな感じ。
これがグラフで視覚的に見た2次不等式を解く流れ。

☆左辺

基本的に2次不等式の左辺\(ax^2+bx+c\)は、\(a\)＞\(0\)の形に統一してから解く。\(a\)＜\(0\)の場合は、不等式の両辺に負の数を掛けて\(a\)＞\(0\)の形にする。例えば、\(-x^2+4x-3\)＜\(0\)は\(a\)＜\(0\)なので、両辺に\(-1\)を掛けて\(x^2-4x+3\)＞\(0\)の形にして解く。そうすることで、関数のグラフを考える時、常に下に凸のグラフで考えるだけでよくなる。

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2次不等式の解き方

グラフで見た通り、\(x\)軸の上部分か下部分かが2次不等式の解に直結する。
つまり、これは\(y=0\)のときの\(x\)の値が2次不等式の解に直結する。
\(y=0\)のときの\(x\)の値というのは\(x\)軸との共有点のお話を対応することで求めることができる。

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2次関数におけるx軸との共有点の求め方さっきの繰り返しになるけど、2次不等式の具体的な解を求めてみる。
基本的な解き方は、以下の4ステップ。
①2次方程式を解く
②共有点の個数
③範囲
④解
例えば、2次不等式\(x^2-4x+3\)＞\(0\)を解く場合、左辺を2次関数\(y=x^2-4x+3\)で考える。
この関数が\(x\)軸と交わる点、つまり\(y=0\)となるときの\(x\)の値を求める。
①2次方程式\(x^2-4x+3=0\)を解く

②共有点の個数
異なる2つの実数解があるので、共有点は2個あると分かる。

③範囲
\(x^2-4x+3\)＞\(0\)と\(y=x^2-4x+3\)から

となり、\(y=x^2-4x+3\)のグラフを反映させると

こんな感じになる。
④解
\(x\)の範囲をグラフで見ると

こんな感じになる。
よって \(x\)＜\(1,3\)＜\(x\) という2次不等式の解が導き出せる。

パターン化する

まとめると、2次不等式は次の4種類ある。 \(ax^2+bx+c\)＞\(0\) \(ax^2+bx+c\)＜\(0\) \(ax^2+bx+c\)≧\(0\) \(ax^2+bx+c\)≦\(0\) \(ax^2+bx+c=0\)の異なる2つの実数解を\(α,β\)（\(α\)＜\(β\)）とすると各2次不等式の解は次のようになる。

2次不等式	解
\(ax^2+bx+c\)＞\(0\)	\(x\)＜\(α,β\)＜\(x\)
\(ax^2+bx+c\)＜\(0\)	\(α\)＜\(x\)＜\(β\)
\(ax^2+bx+c\)≧\(0\)	\(x\)≦\(α,β\)≦\(x\)
\(ax^2+bx+c\)≦\(0\)	\(α\)≦\(x\)≦\(β\)

これは、判別式\(D=b^2-4ac\)が\(D\)＞\(0\)のとき、つまり異なる2つの実数解をもつ場合の解となる。
2次関数\(y=ax^2+bx+c\)において\(D\)＞\(0\)のとき、以前「2次関数におけるx軸との共有点の求め方」で確認した通り、\(x\)軸との共有点は2個ある。
不等式の種類や共有点の個数が変わると、解の範囲も変わってくる。
それを踏まえて、\(y=ax^2+bx+c\)とおいてグラフを考えたときに、不等式の種類と共有点の個数に応じた解のパターンを表にまとめてみる。

こんな感じに、2次不等式の解は、不等式の種類と\(x\)軸との共有点の個数によって分類できる。
2次関数のグラフを使ってイメージすると、「どこが正になっているか」「どこが負になっているか」が視覚的に捉えやすくなる。
実際に不等式を解くときも、グラフを思い浮かべながら考えると理解が深まる。

例題

例題を解きながら、2次不等式の解き方を確認する。

（１）

\(2x^2+4x\)≦\(0\)の両辺を2で割って簡単にする。 \(x^2+2x\)≦\(0\) ①2次方程式を解く
\(x^2+2x=0\)を解く。

②共有点の個数
異なる2つの実数解があるので、\(y=x^2+2x\)と\(x\)軸との共有点は2個あると分かる。

③範囲
\(x^2+2x\)≦\(0\)と\(y=x^2+2x\)より\(y\)≦\(0\)なので\(x\)軸の下部分が解の範囲。

④解
\(x\)の範囲をグラフで見ると

こんな感じ。
よって \(-2\)≦\(x\)≦\(0\) これが答え。

（２）

\(8x\)≧\(4x^2+4\)の両辺を\(4\)で割って右辺が\(0\)になるように整理する。

①2次方程式を解く
\(x^2-2x+1=0\)を解く。

②共有点の個数
重解なので、\(y=x^2-2x+1\)と\(x\)軸との共有点は1個あると分かる。

③範囲
\(x^2-2x+1\)≦\(0\)と\(y=x^2-2x+1\)より\(y\)≦\(0\)なので\(x\)軸の下部分が解の範囲。

④解
\(x\)の範囲を見ると一点しかない。

よって \(x=1\) これが答え。

（３）

①2次方程式を解く
\(x^2-4x+5=0\)を解く。
判別式\(D=b^2-4ac\)より \(D\)\(=b^2-4ac=(-4)^2-4･1･5=16-20=-4\)＜\(0\) \(D\)＜\(0\)より解なし。
②共有点の個数
解なしとなるので、\(y=x^2-4x+5\)と\(x\)軸との共有点は0個と分かる。

③範囲
\(x^2-4x+5\)＜\(0\)と\(y=x^2-4x+5\)より\(y\)＜\(0\)なので\(x\)軸の下部分が解の範囲。

④解
グラフから分かるように解となる\(x\)の範囲はない。

よって 解なし これが答え。

（４）

①2次方程式を解く
\(x^2+2x+2=0\)を解く。
判別式\(D=b^2-4ac\)より \(D\)\(=b^2-4ac=2^2-4･1･2=4-8=-4\)＜\(0\) \(D\)＜\(0\)より解なし。
②共有点の個数
解なしとなるので、\(y=x^2+2x+2\)と\(x\)軸との共有点は0個と分かる。

③範囲
\(x^2+2x+2\)≧\(0\)と\(y=x^2+2x+2\)より\(y\)≧\(0\)なので\(x\)軸の上部分が解の範囲。

④解
グラフから分かるようにすべての\(x\)の範囲が解となる。

よって すべての実数 これが答え。

定義を知る

2次方程式	\(ax^2+bx+c=0\)(\(a,b,c\)は定数、\(a≠0\))
2次関数	\(y=ax^2+bx+c\)(\(a,b,c\)は定数、\(a≠0\))
2次不等式	\(ax^2+bx+c\)＞\(0\) \(ax^2+bx+c\)＜\(0\) \(ax^2+bx+c\)≧\(0\) \(ax^2+bx+c\)≦\(0\) (\(a,b,c\)は定数、\(a≠0\))