すうがくのいえ 
今度は、グラフが動くとどうなるかを考える。
平方式に平方完成すると、
\(\begin{array}{l} f(x)=x^2-2ax+3a+1 \\ \;\;\;\;\;\;\;\:=x^2-2ax+a^2-a^2+3a+1 \\ \;\;\;\;\;\;\;\:=(x-a)^2-a^2+3a+1 \end{array}\)
となり、頂点\((a,-a^2+3a+1)\)、軸\(x=a\)、\(x^2\)の係数はプラスだから下に凸だということが分かる。
グラフに表すと、
式に文字が含まれているので、グラフ全体が動くという挙動を示す。
これがグラフが動くということ。
グラフの動きは、頂点に注目し、特に頂点の\(x\)座標である\(a\)の動きから把握する。
ここから定義域\(0≦x≦2\)をグラフで見ると
こんな感じになる。
グラフが動くことによって、最大値と最小値も変化する。
今の関数\(f(x)=x^2-2ax+3a+1 \;\;\; (0≦x≦2)\)で最大値と最小値がどうなるのか考えていく。
とりあえず、区間の中央値を求めておく。
\[c=\frac{0+2}{2}=1\]
ついでに、区間の端\(0\)、\(2\)を\(x\)に代入した\(f(0)\)、\(f(2)\)も求めておく。
\(f(0)=0^2-2a\)･\(0+3a+1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\,=\;\)\(3a+1\)
\(f(2)=2^2-2a\)･\(2+3a+1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\,=4-4a+3a+1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\,=\;\)\(-a+5\)
まずは最大値から考える。
2次関数の最大値と最小値より、下に凸のグラフの最大値は、
軸と中央値が同じときは、軸から同じだけ離れているから区間の両端とも最大値をとる。
軸と中央値が違うときは、軸から遠い方の区間の端で最大値をとる。
考えられるのは、軸が区間の
①中央より左
②中央と同じ
③中央より右
この3パターン。
軸\(x=a\)の動きに注目しながら順番に見ていく。
①軸が区間の中央より左のとき
「軸が区間の中央より左のとき」というのは、「軸\(x=a\)が区間の中央値\(c=1\)よりも小さいとき」ということ。
つまり、
\(a\)＜\(1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸から遠いのは、区間の端のうち大きい方が最大値となっていることが分かる。
定義域は\(0≦x≦2\)なので、区間の端は\(0\)、\(2\)の２つ。
そのうち大きいのは\(2\)の方なので、\(x=2\)で最大値をとる。
\(f(x)\)に\(x=2\)を代入した値は、
\(f(2)=\)\(\;-a+5\)
となる。
つまり、
\(a\)＜\(1\)のとき、\(x=2\)で最大値\(-a+5\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
②軸が区間の中央と同じのとき
「軸が区間の中央と同じのとき」というのは、「軸\(x=a\)が区間の中央値\(c=1\)と同じ」ということ。
つまり、
\(a=1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸と中央値が同じなので、軸から同じだけ離れているから区間の両端とも最大値となっていることが分かる。
定義域\(0≦x≦2\)より、区間の端は\(0\)、\(2\)の２つなので、\(x=0,2\)で最大値をとる。
\(f(x)\)に\(x=0\)を代入すると、
\(f(0)=3a+1\)
\(a=1\)より
\(3a+1=3\)･\(1+1=\)\(\;4\)
試しに、\(f(x)\)に\(x=2\)を代入すると、
\(f(2)=-a+5\)
\(a=1\)より
\(-a+5=-1+5=\)\(\;4\)
同じ値になる。
つまり、
\(a=1\)のとき、\(x=0,2\)で最大値\(4\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
③軸が区間の中央より右のとき
「軸が区間の中央より右のとき」というのは、「軸\(x=a\)が区間の中央値\(c=1\)よりも大きいとき」ということ。
つまり、
\(a\)＞\(1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸から遠いのは、区間の端のうち小さい方が最大値となっていることが分かる。
定義域は\(0≦x≦2\)なので、区間の端は\(0\)、\(2\)の２つ。
そのうち小さいのは\(0\)の方なので、\(x=0\)で最大値をとる。
\(f(x)\)に\(x=0\)を代入すると、
\(f(0)=\)\(\;3a+1\)
となる。
つまり、
\(a\)＞\(1\)のとき、\(x=0\)で最大値\(3a+1\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
①～③をまとめてみると
こんな感じ。
答えるときは、②と③はひとつにまとめて、
\[
最大値M(a) = \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle -a+5 \;\;\; (a＜1) \\
\;3a+1 \;\;\; ( a ≧ 1 )
\end{array} \right.
\]
こんな感じに答えることになる。
次に、最小値を考える。
2次関数の最大値と最小値より、下に凸のグラフの最小値は、
軸の位置が区間の中のときは、頂点が軸に一番近い、というか重なっているから問答無用で頂点で最小値をとる。
軸の位置が区間の外のときは、区間の端のうち軸に近い方で最小値をとる。
考えられるのは、軸が区間の
④左外
⑤中
⑥右外
この3パターン。
軸\(x=a\)の動きに注目しながら順番に見ていく。
④軸が区間の左外のとき
「軸が区間の左外のとき」というのは、「軸\(x=a\)が区間の左端\(0\)よりも小さいとき」ということ。
つまり、
\(a\)＜\(0\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸に近いのは、区間の端のうち小さい方が最小値となっていることが分かる。
定義域は\(0≦x≦2\)なので、区間の端は\(0\)、\(2\)の２つ。
そのうち小さいのは\(0\)の方なので、\(x=0\)で最小値をとる。
\(f(x)\)に\(x=0\)を代入すると、
\(f(0)=\)\(\;3a+1\)
となる。
つまり、
\(a\)＜\(0\)のとき、\(x=0\)で最小値\(3a+1\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
⑤軸が区間の中のとき
「軸が区間の中のとき」というのは、「軸\(x=a\)が\(0\)以上かつ\(2\)以下」ということ。
つまり、
\(0≦a≦2\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸が区間の中なので、頂点が軸に一番近い、というか重なっているから問答無用で頂点が最小値となっていることが分かる。
頂点は\((a,-a^2+3a+1)\)だと分かっているので、\(x=a\)で最小値\(-a^2+3a+1\)をとる。
つまり、
\(0≦a≦2\)のとき、\(x=a\)で最小値\(-a^2+3a+1\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
⑥軸が区間の右外のとき
「軸が区間の右外のとき」というのは、「軸\(x=0\)が区間の右端\(2\)よりも大きいとき」ということ。
つまり、
\(a\)＞\(2\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸に近いのは、区間の端のうち大きい方が最小値となっていることが分かる。
定義域は\(0≦x≦2\)なので、区間の端は\(0\)、\(2\)の２つ。
そのうち大きいのは\(2\)の方なので、\(x=2\)で最小値をとる。
\(f(x)\)に\(x=2\)を代入した値は、
\(f(2)=\)\(\;-a+5\)
となる。
つまり、
\(a\)＞\(2\)のとき、\(x=2\)で最小値\(-a+5\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
④～⑥をまとめてみると
答えるときは、
\[ 最小値m(a) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,3a+1 \;\;\; (a\;＜\;0) \\ \;-a^2+3a+1 \;\;\; ( 0≦a≦2 ) \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,-a+5 \;\;\; (a\;＞\;2) \end{array} \right. \]
こんな感じに答えることになる。
これが、グラフが動くときの最大と最小。
こんな感じ。
例題を解きながら動くグラフにおける最大値と最小値の求め方を確認する。
\(\begin{array}{l} y=x^2+2(a+1)x \\ \;\;\;=x^2+2(a+1)x+(a+1)^2-(a+1)^2 \\ \;\;\;=\{x+(a+1)\}^2-(a+1)^2 \end{array}\)
\(f(x)=x^2+2(a+1)x\)とすると\(y=f(x)\)は、頂点\((-a-1,-(a+1)^2 )\)、軸\(x=-a-1\)、\(x^2\)の係数はプラスだから下に凸のグラフということが分かる。
グラフの動きは、頂点に注目し、特に頂点の\(x\)座標である\(-a-1\)の動きから把握する。
こんな感じ。
式に文字が含まれているので、グラフ全体が動くという挙動を示す。
区間の中央値は、
\[c=\frac{-1+1}{2}=0\]
こんな感じ。
ついでに、区間の端\(-1\)、\(1\)を\(x\)に代入した\(f(-1)\)、\(f(1)\)も求めておく。
\(f(-1)=(-1)^2+2(a+1)\)･\((-1)\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=1-2(a+1)\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=1-2a-2\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\)\(\;-2a-1\)
\(f(1)=1^2+2(a+1)\)･\(1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\,=1+2(a+1)\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\,=1+2a+2\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\,=\)\(\;2a+3\)
まずは、最大値\(M\)から考えていく。
2次関数の最大値と最小値より、下に凸のグラフの最大値は、
軸と中央値が同じときは、軸から同じだけ離れているから区間の両端とも最大値をとる。
軸と中央値が違うときは、軸から遠い方の区間の端で最大値をとる。
考えられるのは、軸が区間の
①中央より左
②中央と同じ
③中央より右
この3パターン。
軸\(x=-a-1\)の動きに注目しながら順番に見ていく。
①軸が区間の中央より左のとき
「軸が区間の中央より左のとき」というのは、「軸\(x=-a-1\)が区間の中央値\(c=0\)よりも小さいとき」ということ。
つまり、
\(-a-1\)＜\(0\)
\(\;\;\;\;\;\;-a\)＜\(1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\)＞\(-1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸から遠いのは、区間の端のうち大きい方が最大値となっていることが分かる。
定義域は\(-1≦x≦1\)なので、区間の端は\(-1\)、\(1\)の２つ。
そのうち大きいのは\(1\)の方なので、\(x=1\)で最大値をとる。
\(f(x)\)に\(x=1\)を代入した値は、
\(f(1)=\)\(\;2a+3\)
となる。
つまり、
\(a\)＞\(-1\)のとき、\(x=1\)で最大値\(2a+3\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
②軸が区間の中央と同じのとき
「軸が区間の中央と同じのとき」というのは、「軸\(x=-a-1\)が区間の中央値\(c=0\)と同じ」ということ。
つまり、
\(-a-1=0\)
\(\;\;\;\;\;\;-a=1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;a=-1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸と中央値が同じなので、軸から同じだけ離れているから区間の両端とも最大値となっていることが分かる。
定義域\(-1≦x≦1\)より、区間の端は\(-1\)、\(1\)の２つなので、\(x=-1,1\)で最大値をとる。
\(f(x)\)に\(x=-1\)を代入すると、
\(f(-1)=\)\(\;-2a-1\)
\(a=-1\)より
\(-2a-1=-2\)∙\((-1)-1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=2-1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\)\(\;1\)
試しに、\(f(x)\)に\(x=1\)を代入すると、
\(f(1)=\)\(\;2a+3\)
\(a=-1\)より
\(2a+3=2\)∙\((-1)+3\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-2+3\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\)\(\;1\)
同じ値になる。
つまり、
\(a=-1\)のとき、\(x=-1,1\)で最大値\(1\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
③軸が区間の中央より右のとき
「軸が区間の中央より右のとき」というのは、「軸\(x=-a-1\)が区間の中央値\(c=0\)よりも大きいとき」ということ。
つまり、
\(-a-1\)＞\(0\)
\(\;\;\;\;\;\;-a\)＞\(1\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\)＜\(-1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸から遠いのは、区間の端のうち小さい方が最大値となっていることが分かる。
定義域は\(-1≦x≦1\)なので、区間の端は\(-1\)、\(1\)の２つ。
そのうち小さいのは\(-1\)の方なので、\(x=-1\)で最大値をとる。
\(f(x)\)に\(x=-1\)を代入すると、
\(f(-1)=\)\(\;-2a-1\)
となる。
つまり、
\(a\)＜\(-1\)のとき、\(x=-1\)で最大値\(-2a-1\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
①～③をまとめてみると
こんな感じ。
答えるときは、①と②はひとつにまとめて、
\[
最大値M = \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \;\;\, 2a+3 \;\;\; (a≧-1) \\
-2a-1 \;\;\; ( a ＜ -1 )
\end{array} \right.
\]
こんな感じに答えることになる。
次に、最小値を考える。
2次関数の最大値と最小値より、下に凸のグラフの最小値は、
軸の位置が区間の中のときは、頂点が軸に一番近い、というか重なっているから問答無用で頂点で最小値をとる。
軸の位置が区間の外のときは、区間の端のうち軸に近い方で最小値をとる。
考えられるのは、軸が区間の
④左外
⑤中
⑥右外
この3パターン。
軸\(x=-a-1\)の動きに注目しながら順番に見ていく。
④軸が区間の左外のとき
「軸が区間の左外のとき」というのは、「軸\(x=-a-1\)が区間の左端\(-1\)よりも小さいとき」ということ。
つまり、
\(-a-1\)＜\(-1\)
\(\;\;\;\;\;\;-a\)＜\(0\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\)＞\(0\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸に近いのは、区間の端のうち小さい方が最小値となっていることが分かる。
定義域は\(-1≦x≦1\)なので、区間の端は\(-1\)、\(1\)の２つ。
そのうち小さいのは\(-1\)の方なので、\(x=-1\)で最小値をとる。
\(f(x)\)に\(x=-1\)を代入すると、
\(f(-1)=\)\(\;-2a-1\)
となる。
つまり、
\(a\)＞\(0\)のとき、\(x=-1\)で最小値\(-2a-1\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
⑤軸が区間の中のとき
「軸が区間の中のとき」というのは、「軸\(x=-a-1\)が\(-1\)以上かつ\(1\)以下」ということ。
つまり、\(-a-1≧-1\)かつ\(-a-1≦1\)ということ。
\(-a-1≧-1\)を整理すると
\(-a-1≧-1\)
\(\;\;\;\;\;\;-a≧0\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;a≦0\)
\(-a-1≦1\)を整理すると
\(-a-1≦1\)
\(\;\;\;\;\;\;-a≦2\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;a≧-2\)
となり、\(a\)は\(-2\)以上\(0\)以下ということが分かる。
これをまとめると
\(-2≦a≦0\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸が区間の中なので、頂点が軸に一番近い、というか重なっているから問答無用で頂点が最小値となっていることが分かる。
頂点は\((-a-1,-(a+1)^2)\)だと分かっているので、\(x=-a-1\)で最小値\(-(a+1)^2\)をとる。
つまり、
\(-2≦a≦0\)のとき、\(x=-a-1\)で最小値\(-(a+1)^2\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
⑥軸が区間の右外のとき
「軸が区間の右外のとき」というのは、「軸\(x=-a-1\)が区間の右端\(1\)よりも大きいとき」ということ。
つまり、
\(-a-1\)＞\(1\)
\(\;\;\;\;\;\;-a\)＞\(2\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\)＜\(-2\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸に近いのは、区間の端のうち大きい方が最小値となっていることが分かる。
定義域は\(-1≦x≦1\)なので、区間の端は\(-1\)、\(1\)の２つ。
そのうち大きいのは\(1\)の方なので、\(x=1\)で最小値をとる。
\(f(x)\)に\(x=1\)を代入した値は、
\(f(1)=\)\(\;2a+3\)
となる。
つまり、
\(a\)＜\(-2\)のとき、\(x=1\)で最小値\(2a+3\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
④～⑥をまとめてみると
答えるときは、
\[ 最小値m = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \;\; -2a-1 \;\;\; (a＞0) \\ -(a+1)^2 \;\;\; (-2≦a≦0) \\ \;\;\;\;\; 2a+3 \;\;\; ( a ＜ -2 ) \end{array} \right. \]
こんな感じに答えることになる。
ちなみにグラフの軌道は、頂点\((-a-1,-(a+1)^2)\)なので\(f(x)=-(x+1)^2\)の\(x\)を\(-x-1\)に置き換えた関数になる。
\(f(x)=-(-x-1+1)^2\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\:=-(-x)^2\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\:=-x^2\)
つまり、\(y=-x^2\)が頂点の軌道で、グラフの軌道となる。
こんな感じになる。
| 2次の多項式を平方式や完全平方式に変形させること | |
| 関数\(y=f(x)\)における\(x\)の変域のこと | |
| 定義域に制限がある際の、\(x\)の値の範囲の実数\(x\)の集合のこと |
動くグラフにおける最大と最小は、グラフの軌道が最初から分かるわけではないから結構難しい。
難しいけど基本をしっかり身に着けておけば、グラフの動きもしっかり捉えることができる。
区間の端、区間の中央値、頂点、軸がそれぞれどうなるのかを意識しながら解いていきたい。
区間の端か軸のどれかで、最大値・最小値をとることになるということは覚えておいた方が良い。
いくつも例題や問題を解いていけば、定義域に制限があるときの問題パターンが見えてくる。
同じ単元、同じ問題、同じ例題に時間をかけて取り組めば、かけた時間だけ理解度も深まる。
逆に言えば、時間をかけなければそんなに理解は進まない。
といっても、同じものに時間をかけすぎると面白くなくなってしまう。
ある程度問題を解けば次へ進んで、少し忘れた頃に思い出すため問題をまた解き直すくらいが丁度いいかも。
出来るようになればそこに面白さが生まれることもある。
