すうがくのいえ 
約数の個数や約数の和を求める問題はよく出てくる。
すべての約数を書き出すことで求めることもできるけど、それだと大きな数を扱う場合に時間も余白も足りない。
そういうときは、素因数分解を使って整理することで簡単に求めることができる。
約数とは、ある正の整数を割り切ることができる正の整数のこと。
例えば、\(12\)の約数は \[1,2,3,4,6,12\] の6つ。
素数とは、その数自身と、1以外に約数を持たない自然数のこと。
例えば、\(12\)の約数のうち、素数は \[2,3\] の2つ。
素因数分解とは、ある正の整数を素数の積の形で表すこと。
例えば、\(12\)を素因数分解すると \[12=2^2×3^1\] という形になる。
積の形を作っている各式を因数と呼び、因数のうち素数であるものを素因数と呼ぶ。
素因数分解で平方因数を外に
約数は、素因数を使って表すことができる。
例えば、\(12\)の場合は素因数分解によって \[12=2^2×3^1\] と表せる。
ここで「2を何個使うか」「3を何個使うか」という、素因数の使い方を考えると
この約数を作る素因数の組み合わせをすべて書くと
例えば、\(12\)の場合は素因数分解によって \[12=2^2×3^1\] と表せる。
ここで「2を何個使うか」「3を何個使うか」という、素因数の使い方を考えると
- 2の使い方は「0個」「1個」「2個」の3通り
- 3の使い方は「0個」「1個」の2通り
この約数を作る素因数の組み合わせをすべて書くと
これで、\(12\)の約数は \[1,2,3,4,6,12\] の6個と分かる。
指数に\(1\)を足すのは、0個使う場合も数えるため。
例えば、\(2\)は「0個、1個、2個」と使えるので、全部で3通りあり、これが\(2+1\)に対応している。
この形は、他の数でも同じように使える。
例えば、\(12\)の約数は \[1,2,3,4,6,12\] なので、その和は \[1+2+3+4+6+12=28\] となる。
約数の個数と同じように、約数の和も素因数の使い方に注目して考えることができる。
約数の和を素因数で表した形で式を立てると
計算すると
\(\begin{array}{l}\;\;\;\: (2^0+2^1+2^2 )×(3^0+3^1 )\\ =(1+2+4)×(1+3)\\ =7×4\\ =28 \end{array}\)
となり、さっき計算した約数の和とも一致する。
\(\begin{array}{l} ({p_1}^0+{p_1}^1+{p_1}^2+⋯+{p_1}^{a_1})\\ ×({p_2}^0+{p_2}^1+{p_2}^2+⋯+{p_2}^{a_2})\\ ×⋯\\ ×({p_k}^0+{p_k}^1+{p_k}^2+⋯+{p_k}^{a_k}) \end{array}\)
で求めることができる。
例題を解きながら、約数の個数と約数の和の求め方を確認していく。
まず素因数分解する。 \[36=2^2×3^2\] 約数の個数は、指数に\(1\)を足して掛ける。 \[(2+1)×(2+1)=3×3=9\] 約数の和は、各素因数について0乗から最大の指数までの和を求めてそれらを掛ける。
\(\begin{array}{l}\;\;\;\: (2^0+2^1+2^2)×(3^0+3^1+3^2)\\ =(1+2+4)×(1+3+9)\\ =7×13\\ =91 \end{array}\)
よって
（２）\(256\)
まず素因数分解する。 \[256=2^8\] 約数の個数は、指数に\(1\)を足して掛ける。 \[8+1=9\] 約数の和は、各素因数について0乗から最大の指数までの和を求めてそれらを掛ける。
\(\begin{array}{l}\;\;\;\: 2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8\\ =1+2+4+8+16+32+64+128+256\\ =511 \end{array}\)
よって
素因数が1種類でも、同じ考え方で求めることができる。
（３）\(1800\)
まず素因数分解する。 \[1800=2^3×3^2×5^2\] 約数の個数は、指数に\(1\)を足して掛ける。 \[(3+1)×(2+1)×(2+1)=4×3×3=36\] 約数の和は、各素因数について0乗から最大の指数までの和を求めてそれらを掛ける。
\(\begin{array}{l}\;\;\;\: (2^0+2^1+2^2+2^3)×(3^0+3^1+3^2)×(5^0+5^1+5^2)\\ =(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5+25)\\ =15×13×31\\ =6045 \end{array}\)
よって
| ある正の整数を割り切ることができる正の整数のこと | |
| その数自身と、\(1\)以外に約数を持たない自然数のこと | |
| ある正の整数を素数の積の形で表すこと | |
| 因数分解後の積を作っている各式のこと | |
| 因数のうち素数であるもの |
約数の個数や約数の和は、素因数分解を使うことで簡単に求めることができる。
約数の個数は、各素因数の指数に1を足して掛ける。
約数の和は、各素因数について0乗から最大の指数までの和を求めて掛ける。
どちらも約数を素因数の組み合わせとして捉えることが大事。
この考え方を理解しておけば、公式そのものは覚える必要がない。
