集合のまとめ｜基本からよくあるミスまで総整理

集合は「範囲がはっきりしているものの集まり」を扱う分野で、数学の中でも論理的に考える力を養う重要な単元。
これまで学んできた内容を整理しながら、集合の考え方を全体としてつかめるようにする。

集合の基本
集合と集合の関係の記号と意味
ド・モルガンの法則
個数定理
問題の解き方とよくあるミス
まとめ

集合の基本

・集合
範囲がはっきりしているものの集まり。

・要素（元）
集合をつくっている1つ1つのもの。
\(a∈A\)：\(a\)は\(A\)に属する。\(a\)は\(A\)の要素。

・ベン図
集合と集合の関係を図で表したもの。

ものごとを整理して考えるとき、絵を描いて整理した方が分かりやすいことがある。
集合でも同じように、ベン図で視覚的に表現することで、集合の関係を整理しやすくすることができる。

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集合と集合の関係の記号と意味

・部分集合
\(A⊂B\)：\(A\)は\(B\)に含まれる。\(B\)は\(A\)を含む。

・全体集合
\(U\)：すべての要素をまとめた集合。
要素を考えるとき、全体集合の要素だけを考える。
集合を考えるとき、全体集合の部分集合だけを考える。

・共通部分
\(A∩B\)：\(A\)かつ\(B\)

・和集合
\(A∪B\)：\(A\)または\(B\)

・補集合
\(\overline{A}\)：\(A\)に属さない要素全体の集合

ベン図で「どの部分を求めているのか」を整理することが重要。

「かつ」→共通部分
「または」→和集合
「〜でない」→補集合

という対応を意識したい。

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ド・モルガンの法則

2つの集合

\(\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}\)
\(\overline{A∩B}=\overline{A}∪\overline{B}\)

3つの集合

\(\overline{A∪B∪C}=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}\)
\(\overline{A∩B∩C}=\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}\)

補集合を取ると\(∩\)と\(∪\)が入れ替わるのがポイント。

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個数定理

2つの集合

\(n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)\)

3つの集合

\(n(A∪B∪C)\)
\(=n(A)+n(B)+n(C)\)
\(-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)\)
\(+n(A∩B∩C)\)

集合の形を変えるための法則ではなく、同じ要素を二重に数えないための考え方だと捉えると理解しやすい。

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3つの集合の個数定理ってなに？集合の要素の個数の求め方

問題の解き方とよくあるミス

・ベン図で整理する
とりあえず問題を読みながらベン図で表現してみる。
仮にベン図で表せない問題でも、ベン図で表せないことを確認する。
よくあるミスは、ベン図を使わずに時間ばかりかかったり誤った整理をしたりしてしまう。

・何を求めるかを確認する
多くの問題は

要素そのものを求める問題

要素の個数を求める問題

のどちらかなので、まずここを確認する。
よくあるミスは、求めるべきものを正しく把握しないまま計算を進めてしまう。

・必要に応じて法則で変形する
計算しにくい場合は
ド・モルガンの法則

分配法則

統合法則

などを使って、扱いやすい形に変形する。
よくあるミスは、法則による変形を想定しないまま計算しようとしてしまう。

・（個数なら）個数定理で計算する
個数を求める問題の場合は、重複を避けるために個数定理を使う。
よくあるミスは、「\(+\)」と「\(-\)」が逆になっている。

・答え
求めるべき答えを確認する。
よくあるミスは、求めるべき答えの手前の計算結果が答えだと勘違いしてしまう。

証明問題など、一部の問題ではこの流れがそのまま使えない場合もある。

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