すうがくのいえ 
数字や文字を並べたり、コインを投げたりするとき、考えられるパターンを全部挙げたいという場面がよくある。
ただ、適当に書き出していくと、途中で抜けたり、同じものを書いてしまったりしやすい。
そのため、図を使ったり、一定の順番で並べたりしながら整理して考えていく。
ある事柄について、起こりうるすべての場合を、もれなく、重複することなく数え上げることを、場合の数を求めるという。
例えば、サイコロを1回振るときに出る目は
の6通りある。
こんな感じに、考えられるすべての場合を正しく数えることが重要になる。
ただやみくもに数えると「数え忘れ（もれ）」「同じものを2回数える（重複）」が起こりやすい。
そのため、樹形図や辞書式配列法などの一定の方針にしたがって、順序よく整理しながら数えることが大切になる。
樹形図とは、各場合を枝分かれで整理して表した図のこと。
例えば、コインを2回投げて、起こりうるすべての場合の数を考える。
1回目で、表・裏の2通りに分かれる。
2回目で、それぞれからさらに表・裏に分かれる。
これを樹形図で表すと
こんな感じに、順に枝分かれさせていくことで、すべての場合を図で確認することができる。
特に、場合の数がそれほど多くないときや流れを視覚的に理解したいときに有効な方法となる。
また、素因数分解をするときも樹形図を使ったりする。
例えば、18を素因数分解する場合
こんな感じ。
辞書の単語のように、順番に整理して並べていく。
まず先頭の文字を固定して、その中で次の文字を順番に並べ、さらにその中で次の文字を並べ…という感じで考える。
例えば、\(1,2,3\)の3つの数字を並べるとき、並べ方のすべての場合の数を考える。
小さい順に
\(123\)
\(132\)
\(213\)
\(231\)
\(312\)
\(321\)
と並べることができ、全部で6通りあると分かる。
こんな感じに、先頭の文字を固定して、その中で次を並べるという辞書のようなルールで順序よく並べることで、もれなく重複なく数えることができる。
例題を解きながら、場合の数の問題はどのように解いていくのかを確認する。
まず、1回ごとに表・裏の2通りがある。
これを辞書式配列法で順番にすべて並べていくと
・表表表 ・裏表表
・表表裏 ・裏表裏
・表裏表 ・裏裏表
・表裏裏 ・裏裏裏
こんな感じになる。
よって
8通り
となる。
次に、この中で表が2回以上出るのは
・表表表 ・裏表表
・表表裏 ・裏表裏
・表裏表 ・裏裏表
・表裏裏 ・裏裏裏
この赤字にしたところになる。
よって
4通り
となる。
樹形図で表すと
こんな感じ。
実際に書いて解くときは、表を○、裏を×と置き換えることで素早く書き出せるようになる。
大小2個のさいころは区別できるので、
（大きいさいころの目，小さいさいころの目）
の順に考える。
大きいさいころは1〜6の6通りあり、小さいさいころも1〜6の6通りある。
これを辞書式配列法で順番にすべて並べていくと
\((2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\)
\((3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\)
\((4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\)
\((5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\)
\((6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\)
こんな感じになる。
よって
36通り
となる。
次に、この中で目の和が7以上になる場合を考えると
\((2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\)\(\,(2,5),(2,6)\)
\((3,1),(3,2),(3,3),\)\(\,(3,4),(3,5),(3,6)\)
\((4,1),(4,2),\)\(\,(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\)
\((5,1),\)\(\,(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\)
\((6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\)
この赤字にしたところになる。
よって
21通り
となる。
樹形図で表すと
こんな感じ。
| ある事柄について、起こりうるすべての場合を、もれなく、重複することなく数え上げること | |
| 各場合を枝分かれで整理して表した図 | |
| 一定の順序にしたがって並べて場合の数を整理する方法 |
場合の数では、起こりうるすべての場合を、もれなく重複なく数えることが大切。
樹形図を使うと、場合の分かれ方を視覚的に整理することができる。
辞書式配列法を使うと、場合を順番に並べながら整理することができる。
樹形図も辞書式配列法も、図で整理するか、順番に並べて整理するかの違いがあるだけで、先頭から順に場合を整理していくという考え方は同じ。
場合の数の問題では、適当に数えるのではなく、順序よく整理しながら考えることが重要になる。
