n(A∩B)の最大値・最小値の求め方｜集合の要素の個数

全体集合\(U\)、集合\(A\)、集合\(B\)のそれぞれの要素の個数が分かっていても、それだけでは共通部分や和集合、補集合などの要素の個数までは分からない。
先程の変形させた個数定理の式から \[n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)\]

• 左辺の\(n(A∩B)\)が大きくなるのは右辺の\(n(A∪B)\)が小さくなるとき
• 左辺の\(n(A∩B)\)が小さくなるのは右辺の\(n(A∪B)\)が大きくなるとき

が成り立つ。
和集合の要素の個数\(n(A∪B)\)が小さいほど\(n(A∩B)\)は大きくなり、\(n(A∪B)\)が大きいほど\(n(A∩B)\)は小さくなる。
これが\(n(A∩B)\)の最大・最小の考え方。

\(n(A∩B)\)が最大になるときは、\(n(A∪B)\)が最小となり、部分集合の形になっている。
つまり、\(A⊃B\)または\(B⊃A\)　のとき　\(n(A∩B)\)は最大になる。

• \(A⊃B\)のとき\[n(A∩B)=n(B)\]
• \(B⊃A\)のとき\[n(A∩B)=n(A)\]

集合\(A\)と集合\(B\)のうち、要素の数が少ない方が、もう一方にすべて含まれるとき、共通部分の要素の個数\(n(A∩B)\)は最大になる。
同時に、\(n(\overline{A∪B})\)も最大となっている。

\(A⊃B\)のとき、\(A∪B=A\)となるから、\(n(A∪B)=n(A)\)となることが分かる。
これを個数定理に代入すると

\(n(A∩B)\)が最小になるときは、\(n(A∪B)\)が最大となり、同時に\(n(\overline{A∪B})\)は最小となっている。

• \(n(A)+n(B)\)＞\(n(U)\)のとき\(A∪B=U\)より\[n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(U)\]
• \(n(A)+n(B)≦n(U)\)のとき\[n(A∩B)=0\]

場合分けをせず \[n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(U)\] の計算結果が負になれば最小値は\(0\)となるとしても、答えは導き出せる。

\(A∪B=U\)のとき\(n(A∪B)=n(U)\)となるので、これを個数定理に代入すると