3つの集合のド・モルガンの法則｜式とベン図で整理

ド・モルガンの法則は、2つや3つの集合に限らず、4つ以上の集合に対しても同じように成り立つ。例えば、4つの集合\(A,B,C,D\)については \[\cdot\:\:\overline{A∪B∪C∪D}=\overline{A}∩\overline{B}∩\overline{C}∩\overline{D}\] \[\cdot\:\:\overline{A∩B∩C∩D}=\overline{A}∪\overline{B}∪\overline{C}∪\overline{D}\] となる。これを一般化すると \[\cdot\:\:\overline{A_{1}∪A_{2}∪⋯∪A_{n}}=\overline{A_{1}}∩\overline{A_{2}}∩⋯∩\overline{A_{n}}\] \[\cdot\:\:\overline{A_{1}∩A_{2}∩⋯∩A_{n}}=\overline{A_{1}}∪\overline{A_{2}}∪⋯∪\overline{A_{n}}\] となる。こんな感じに、補集合を取ると「共通部分（\(∩\)）」と「和集合（\(∪\)）」の関係がすべて入れ替わるというルールは、集合の個数に関係なく成り立つ。つまり、ド・モルガンの法則は「補集合を取ると、\(∩\)と\(∪\)がすべて入れ替わる」という1つのルールだけ覚えておけば良き。高校範囲ではここまで一般化して扱うことは少ないけど、考え方としては同じ。