すうがくのいえ 
展開とは、( )を外す作業のこと。
この( )を外す作業には公式がある。
これを展開の公式という。
公式とは、法則でもあり、定理でもある。
数学の公式は、その物事を理解していなくても、変数に数値を入れて計算すれば必要な数値が得られる解決策であるため、比喩的に「問題を簡単に解決することができる魔法のようなもの」というような意味で用いられることがある。
(Wikipediaより)
つまり、展開の公式は「簡単に( )を外すことができる魔法」とも言うことができる。
その基本中の基本の展開の公式として、分配法則を使った公式がある。
これが「基本の展開の公式」となる。
この式さえ覚えておけば、他の展開の公式は導き出すことができる。
この６つが展開の公式。
ヤバイ、
数字より英語の方が多い。
暗号みたい。
一気に全部覚えるなんて無理なので、とりあえず、あんな感じっていうことだけ見ておけばおｋ。
というより暗記的に覚えるのはむしろ非効率。
何故この形の公式になるのかを理解しておく方が良き。
例題とか問題を解くときに使っていけば自然と身に付くと思われる。
とりあえず、
ゆっくり、
1個ずつ、
順番に、
確認していこう。
といっても、やることは、展開「 ( )を外す作業 」をするだけなのだけれども。
ついでに、重要度を勝手に星で評価してみた。
まず１つ目。
プラスとマイナスで分けられているけど、とりあえずプラスの方、
こちらから見ていこう。
指数が2になっているので、同じものを2回かけている。
こんな感じ。
ここで基本中の基本の展開の公式、
これを使うと、
こんな感じになる。
同類項をまとめて、指数を書くと、
ここまで計算することができる。
なので、
この公式が成り立つことが分かる。
マイナスの方の公式は、この「b」の部分に「－b」を代入すると導き出せる。
どういうことかというと、
左辺
右辺
こんな感じに変形できるので、
マイナスの方の公式も成り立つ。
注意すべき箇所は、マイナスの2乗はプラスになるというところ。
公式として覚えておきたい。
2つ目。
基本中の基本の展開の公式、
これを使うと、
こんな感じになる。
同類項をまとめて、指数を書くと、
ここまで計算することができる。
なので、
この公式が成り立つことが分かる。
最悪計算して同類項を相殺すれば計算できるが、やはり覚えておきたい。
3つ目。
基本中の基本の展開の公式、
これを使うと、
こんな感じになる。
同類項をまとめて、指数を書くと、
ここまで計算することができる。
なので、
この公式が成り立つことが分かる。
基本中の基本の展開の公式さえ覚えていれば、これ単体で公式として覚えてなくてもって感じ。
4つ目。
基本中の基本の展開の公式、
これを使うと、
こんな感じになる。
同類項をまとめて、指数を書くと、
ここまで計算することができる。
なので、
この公式が成り立つことが分かる。
正直これを公式の形として覚えてるかと言われたら覚えてない。
基本中の基本の展開の公式を使えば計算できちゃうから。
5つ目。
※符号に注意
プラスとマイナスで分けられているけど、とりあえずプラスの方、
こちらから見ていこう。
基本中の基本の展開の公式、
これを使うと、
こんな感じになる。
とりあえず指数を整理して書くと、
ちょっと式がしんどくなってきた希ガス。
もうちょいがんばろ。
ここから同類項をまとめると、
ここまで計算することができる。
なので、
この公式が成り立つことが分かる。
マイナスの方の公式は、この「b」の部分に「－b」を代入すると導き出せる。
左辺
bに(-b)を代入
( )の中を整理する
右辺
bに(-b)を代入
( )の中を整理する
こんな感じになって、
マイナスの方の公式も成り立つ。
注意すべき箇所は、マイナスの3乗はマイナスになるというところ。
見てもらうと分かるように、実際に計算すると時間がかかる。
そういう意味ではこの公式も覚えておいた方がいい。
ただ、逆に時間をかければ導き出せる。
そして、符号にも注意。
最後、6つ目。
これもプラスとマイナスで分けられているけど、とりあえずプラスの方、
こちらから見ていこう。
まずは、指数法則で、
このように式を分ける。
ここで、1つ目の展開の公式の出番！
こちらを使い、
こんな感じの式になる。
ここで基本中の基本の展開の公式、
これを使うと、
こんな感じになる。
とりあえず指数を整理して書くと、
と変形できて、ここから同類項をまとめると、
ここまで計算することができる。
なので、
この公式が成り立つことが分かる。
マイナスの方の公式は、この「b」の部分に「－b」を代入すると導き出せる。
左辺
bに(-b)を代入
右辺
bに(-b)を代入
( )の中を整理する
こんな感じになって、
マイナスの方の公式も成り立つ。
これも実際に計算すると時間がかかるので覚えておきたい。
公式も覚えておきたいけど、3乗以降の展開の公式は、
「パスカルの三角形」を使えば導き出せるので、そっちで覚える方がおヌヌヌ。
これが基本の展開の公式。
そして、覚えておきたい展開の公式６つ。
出てくる言葉たち。
| 展開 | ( )を外す作業のこと |
| 指数 | 数や文字の右肩に付記して、その累乗を示す数字や文字 |
| 累乗 | 同じ数を順次に掛け合わせること |
| 係数 | 単項式において、その数の部分 |
| パスカルの三角形 | 二項展開における係数を三角形状に並べたものである。 (Wikipediaより) |
この先、因数分解を控えていることを考えると、本当はすべて重要。
使わない漢字、滅多に見ない漢字がなかなか思い出せなくて書けないのと同じように、公式も、どんどん問題を解いていく中で使っていかないと、なかなか思い出せなくて解けなくなってしまう。
どんどん問題を解いていこう。
結果がどうであれ、費やした時間が多ければ多いほど、確実に身に付く。
