すうがくのいえ 
１．一般形：\(y=ax^2+bx+c\)
２．頂点形：\(y=a(x-p)^2+q\)
３．因数分解形：\(y=a(x-r)(x-s)\)
\(x^2\)の係数\(a\)と根がわかっている場合や頂点の\(y\)座標と根がわかっている場合、因数分解形から求めるのが基本となる。
根…？
言い換えると、未知数\(x\)の多項式方程式\(f(x)=0\)の解のこと。
また、多項式関数の\(x\)切片のこと。
わかりにきぃ。
文字通りと言えば文字通りだけど、グラフで見ると少しわかりやすい。
例えば、\(y=x^2-2x\)の関数だと、\(y=(x-1)^2-1\)なので、
\(y=0\)のとき、\(x^2-2x=0\)という方程式になり、解くと\(x=0,2\)になる。
\(y=0\)のときの\(x\)の値は\(x\)軸との交点ということになる。
\(y\)軸の\(0\)から根っこのように生える感じ。
因数分解形\(y=a(x-r)(x-s)\)で表すと、 \[a=1,r=0,s=1\] となり、\(y=x(x-1)\)となる。
2次関数において根が分かっている場合、2つの根の中点によって頂点の\(x\)座標を求めることができる。
\(0\)と\(2\)が根の場合、 \[\frac{0+2}{2}=1\] となり、頂点の\(x\)座標が\(1\)ということが分かる。
平行移動では\(a\)が一定のままなので、\(y=-2x^2\)から\(a=-2\)ということが分かる。
さらに、2点\((-2,0),(3,0)\)を通るので、根\(r=-2,s=3\)ということも分かる。
\(a=-2,r=-2,s=3\)を因数分解形\(y=a(x-r)(x-s)\)に代入する。 \[y=a(x-r)(x-s)\] \[y=-2(x+2)(x-3)\] これが答え。
展開して \[y=-2x^2+2x+12\] これでも正解。
頂点\((p,q)\)において\(q=4\)ということが分かる。
根が分かっている場合、2つの根の中点によって頂点の\(x\)座標を求めることができる。
\(1\)と\(5\)が根なので、 \[p=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3\] となり、頂点\((3,4)\)ということが分かる。
\(r=1,s=5,x=3,y=4\)を因数分解形\(y=a(x-r)(x-s)\)に代入して\(a\)を求める。
展開して \[y=-x^2+6x-5\] これでも正解。
例題を解きながら、2次関数の決定のやり方を確認する。
平行移動では\(a\)が一定のままなので、\(y=\frac{1}{2}x^2\)から\(a=\frac{1}{2}\)ということが分かる。
2点\((0,0),(6,0)\)を通るので、根\(r=0,s=6\)ということも分かる。
\(a=\frac{1}{2},r=0,s=6\)を因数分解形\(y=a(x-r)(x-s)\)に代入する。 \[y=a(x-r)(x-s)\] \[y=\frac{1}{2}x(x-6)\] これが答え。
展開して \[y=\frac{1}{2}x^2-3x\] これでも正解。
頂点\((p,q)\)において\(q=-8\)ということが分かる。
\(-1\)と\(3\)が根なので、 \[p=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1\] となり、頂点\((1,-8)\)ということが分かる。
\(r=-1,s=3,x=1,y=-8\)を因数分解形\(y=a(x-r)(x-s)\)に代入して\(a\)を求める。
展開して \[y=2x^2-4x-6\] これでも正解。
| 与えられた条件をもとに2次関数の具体的な式を求めること | |
| \(y=ax^2+bx+c\) 係数\((a,b,c)\)を使って2次関数を表す最も汎用的な形 |
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| \(y=a(x-p)^2+q\) 頂点の位置が明確で、グラフの形状を把握しやすい形 |
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| \(y=a(x-r)(x-s)\) 根（\(x\)軸との交点）がわかりやすい形 |
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| 多項式\(f(x)\)において\(f(a)=0\)を満たす値\(a\)のこと。 未知数\(x\)の多項式方程式\(f(x)=0\)の解のこと。 多項式関数の\(x\)切片のこと。 |
１．一般形：\(y=ax^2+bx+c\)
２．頂点形：\(y=a(x-p)^2+q\)
３．因数分解形：\(y=a(x-r)(x-s)\)
の3種類が主に使われる。
そのうち、\(x^2\)の係数\(a\)と根がわかっている場合や頂点の\(y\)座標と根がわかっている場合に、因数分解形から求めるのが基本と覚えておきたい。
\(x\)軸との交点を根（こん）と呼ぶことも押さえておきたい。
