すうがくのいえ 
今度は、区間の全体が動くとどうなるかを考える。
平方式に平方完成すると、
\(\begin{array}{l} y=x^2-4x+5 \\ \;\;\,=x^2-4x+2^2-2^2+5 \\ \;\;\,=(x-2)^2-2^2+5 \\ \;\;\,=(x-2)^2-4+5 \\ \;\;\,=(x-2)^2+1 \end{array}\)
となり、頂点\((2,1)\)、軸\(x=2\)、\(x^2\)の係数はプラスだから下に凸だということが分かる。
グラフに表すと、
ここから定義域\(a\)≦\(x\)≦\(a+2\)をグラフで見ると
こんな感じになる。
定義域に文字が含まれているので、区間の全体が動くという挙動を示す。
これが区間の全体が動くということ。
区間の全体が動くことによって、最大値と最小値も変化する。
今の関数\(y=x^2-4x+5 (a\)≦\(x\)≦\(a+2)\)で最大値と最小値がどうなるのか考えていく。
とりあえず、区間の中央値を求めておく。
まずは最大値から考える。
2次関数の最大値と最小値より、下に凸のグラフの最大値は、
軸と中央値が同じときは、軸から同じだけ離れているから区間の両端とも最大値をとる。
軸と中央値が違うときは、軸から遠い方の区間の端で最大値をとる。
考えられるのは、軸が区間の
①中央より右
②中央と同じ
③中央より左
この3パターン。
順番に見ていく。
①軸が区間の中央より右のとき
「軸が区間の中央より右のとき」というのは、「区間の中央値\(c=a+1\)が軸\(x=2\)よりも小さいとき」ということ。
つまり、
\(a+1\)＜\(2\)
\(a\)＜\(1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸から遠いのは、区間の端のうち小さい方が最大値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+2\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+2\)の２つ。
そのうち小さいのは\(a\)の方なので、\(x=a\)で最大値をとる。
\(y=x^2-4x+5\)に\(x=a\)を代入すると、
\(y=\)\(a^2-4a+5\)
となる。
つまり、
\(a\)＜\(1\)のとき、\(x=a\)で最大値\(a^2-4a+5\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
②軸が区間の中央と同じのとき
「軸が区間の中央と同じのとき」というのは、「区間の中央値\(c=a+1\)が軸\(x=2\)と同じ」ということ。
つまり、
\(a+1=2\)
\(a=1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸と中央値が同じなので、軸から同じだけ離れているから区間の両端とも最大値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+2\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+2\)の２つ。
\(a=1\)という条件より、定義域は\(1\)≦\(x\)≦\(3\)で、区間の端は\(1\)、\(3\)となるので、\(x=1,3\)で最大値をとる。
\(y=x^2-4x+5\)に\(x=1\)を代入すると、
\(y=1^2-4･1+5\)
\(\;\;\,=1-4+5\)
\(\;\;\,=\)\(2\)
試しに、\(y=x^2-4x+5\)に\(x=3\)を代入すると、
\(y=3^2-4･3+5\)
\(\;\;\,=9-12+5\)
\(\;\;\,=\)\(2\)
同じ値になる。
つまり、
\(a=1\)のとき、\(x=1,3\)で最大値\(2\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
③軸が区間の中央より左のとき
「軸が区間の中央より左のとき」というのは、「区間の中央値\(c=a+1\)が軸\(x=2\)よりも大きいとき」ということ。
つまり、
\(a+1\)＞\(2\)
\(a\)＞\(1\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸から遠いのは、区間の端のうち大きい方が最大値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+2\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+2\)の２つ。
そのうち大きいのは\(a+2\)の方なので、\(x=a+2\)で最大値をとる。
\(y=x^2-4x+5\)に\(x=a+2\)を代入すると、
\(y=(a+2)^2-4(a+2)+5\)
\(\;\;\,=a^2+4a+4-4a-8+5\)
\(\;\;\,=\)\(a^2+1\)
となる。
つまり、
\(a\)＞\(1\)のとき、\(x=a+2\)で最大値\(a^2+1\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
①～③をまとめてみると
こんな感じ。
答えるときは、②と③はひとつにまとめて、
\[
最大値M(a) = \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle a^2-4a+5 \;\;\; ( a ＜ 1 ) \\
a^2+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ( a ≧ 1 )
\end{array} \right.
\]
こんな感じに答えることになる。
次に、最小値を考える。
2次関数の最大値と最小値より、下に凸のグラフの最小値は、
軸の位置が区間の中のときは、頂点が軸に一番近い、というか重なっているから問答無用で頂点で最小値をとる。
軸の位置が区間の外のときは、区間の端のうち軸に近い方で最小値をとる。
考えられるのは、軸が区間の
④右外
⑤中
⑥左外
この3パターン。
順番に見ていく。
④軸が区間の右外のとき
「軸が区間の右外のとき」というのは、「区間の右端\(a+2\)が軸\(x=2\)よりも小さいとき」ということ。
つまり、
\(a+2\)＜\(2\)
\(a\)＜\(0\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸に近いのは、区間の端のうち大きい方が最小値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+2\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+2\)の２つ。
そのうち大きいのは\(a+2\)の方なので、\(x=a+2\)で最小値をとる。
\(y=x^2-4x+5\)に\(x=a+2\)を代入すると、
\(y=(a+2)^2-4(a+2)+5\)
\(\;\;\,=a^2+4a+4-4a-8+5\)
\(\;\;\,=\)\(a^2+1\)
となる。
つまり、
\(a\)＜\(0\)のとき、\(x=a+2\)で最小値\(a^2+1\)をとる これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
⑤軸が区間の中のとき
「軸が区間の中のとき」というのは、「軸\(x=2\)が\(a\)以上かつ\(a+2\)以下」ということ。
つまり、
\(a\)≦\(2\)かつ\(2\)≦\(a+2\)
\(2\)≦\(a+2\)を整理すると
\(0\)≦\(a\)
となり、\(a\)は\(0\)以上\(2\)以下ということが分かる。
これをまとめると
\(0\)≦\(a\)≦\(2\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値
軸が区間の中なので、頂点が軸に一番近い、というか重なっているから問答無用で頂点が最小値となっていることが分かる。
頂点は\((2,1)\)だと分かっているので、\(x=2\)で最小値\(1\)をとる。
つまり、
\(0\)≦\(a\)≦\(2\)のとき、\(x=2\)で最小値\(1\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
⑥軸が区間の左外のとき
「軸が区間の左外のとき」というのは、「区間の左端\(a\)が軸\(x=2\)よりも大きいとき」ということ。
つまり、
\(a\)＞\(2\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸に近いのは、区間の端のうち小さい方が最小値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+2\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+2\)の２つ。
そのうち小さいのは\(a\)の方なので、\(x=a\)で最小値をとる。
\(y=x^2-4x+5\)に\(x=a\)を代入すると、
\(y=\)\(a^2-4a+5\)
となる。
つまり、
\(a\)＞\(2\)のとき、\(x=a\)で最小値\(a^2-4a+5\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
④～⑥をまとめてみると
答えるときは、
\[ 最小値m(a) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a^2+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ( a ＜ 0 ) \\ 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, ( 0≦a≦2 )\\ a^2-4a+5 \;\;\; ( a ＞ 2 ) \end{array} \right. \]
こんな感じに答えることになる。
これが、区間の全体が動くときの最大と最小。
\(a\)＜\(1\)のとき、\(x=a\)で最大値\(a^2-4a+5\)をとる
\(a=1\)のとき、\(x=1,3\)で最大値\(2\)をとる
\(a\)＞\(1\)のとき、\(x=a+2\)で最大値\(a^2+1\)をとる
\(a\)＜\(0\)のとき、\(x=a+2\)で最小値\(a^2+1\)をとる
\(0\)≦\(a\)≦\(2\)のとき、\(x=2\)で最小値\(1\)をとる
\(a\)＞\(2\)のとき、\(x=a\)で最小値\(a^2-4a+5\)をとる
と答えるのがとりあえず無難。これでも正解。だけどちょっと見づらいことは否めないので \[ 最大値M(a) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a^2-4a+5 \;\;\; ( a ＜ 1 ) \\ a^2+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ( a ≧ 1 ) \end{array} \right. \] \[ 最小値m(a) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a^2+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ( a ＜ 0 ) \\ 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, ( 0≦a≦2 )\\ a^2-4a+5 \;\;\; ( a ＞ 2 ) \end{array} \right. \] と答えることで見やすくて分かりやすい。これでも正解。見やすさ、分かりやすさ、つまり見た目のお話。「\(M(a)\)」の「\((a)\)」の部分は「\(a\)の式」って感じの意味。英語で最大値はMaximum、最小値はminimumなので、「最大値\(M(a)\)」「最小値\(m(a)\)」の部分を「Maximum」「minimum」としたり、略して「Max」「min」、もっと略して「\(M\)」「\(m\)」としたりもする。見た目のお話なので「BIG」「small」とか「／(^o^)＼」「(TT)」とかなんでもいい。そうしなければならないという決まりがあるわけではない。だけど慣習に倣った方が分かりやすいし、テストや試験の採点方法によっては、ある一定の答え方を求められる場合もある。そんなときは先生や採点担当者に直接聞いたり、参考書や問題集の解答、過去問の解答例を参考にしたりして柔軟に対応できるようにしておけば間違いない。問題文に「～における最大値\(M(a)\)と最小値\(m(a)\)を\(a\)の式で表せ。」という感じに「\(M(a)\)」「\(m(a)\)」と書いてあればそのまま使えばいい。「\(M(a)\)」「\(m(a)\)」みたいな文字がないときや、問題文に使われている文字以外の文字を使いたいときは、「最大値を\(M\)、最小値を\(m\)とする」と初めに定義しておけば、 \[ M = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a^2-4a+5 \;\;\; ( a ＜ 1 ) \\ a^2+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ( a ≧ 1 ) \end{array} \right. \] \[ m = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a^2+1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ( a ＜ 0 ) \\ 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, ( 0≦a≦2 )\\ a^2-4a+5 \;\;\; ( a ＞ 2 ) \end{array} \right. \] って感じに解いて答えることもできる。これでも正解。「Max」「min」は集合の単元で使われ、単純に単語として「Maximum」「minimum」を略して「Max.」「min.」と使う場面もあるので、あえて「Max」「min」を関数の最大値・最小値で使う必要性はあまりないかも。
例題を解きながら動く区間における最大値と最小値の求め方を確認する。
\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}(x^2-6x)\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}(x^2-6x+3^2-3^2)\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}\{(x-3)^2-9\}\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}(x-3)^2+\frac{9}{2}\)
これで\(y=f(x)\)は、頂点\((3,\frac{9}{2})\)、軸\(x=3\)、\(x^2\)の係数はマイナスだから上に凸のグラフということが分かった。
グラフに表すとこんな感じ。
とりあえず点線で表しておく。
区間の中央値は、
こんな感じ。
ついでに、区間の端\(a\)、\(a+1\)を\(x\)に代入した\(f(a)\)、\(f(a+1)\)も求めておく。
\(\begin{array}{l} f(a)=-\frac{1}{2}a^2+3a\\ f(a+1)=-\frac{1}{2}(a+1)^2+3(a+1)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}(a^2+2a+1)+3(a+1)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}a^2-a-\frac{1}{2}+3a+3\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2} a^2+2a+\frac{5}{2} \end{array} \)
まずは、最大値\(M(a)\)から考えていく。
2次関数の最大値と最小値より、上に凸のグラフの最大値は、
軸の位置が区間の中のときは、頂点が軸に一番近い、というか重なっているから問答無用で頂点で最大値をとる。
軸の位置が区間の外のときは、区間の端のうち軸に近い方で最大値をとる。
考えられるのは、軸が区間の
①右外
②中
③左外
この3パターン。
順番に見ていく。
①軸が区間の右外のとき
「軸が区間の右外のとき」というのは、「区間の右端\(a+1\)が軸\(x=3\)よりも小さいとき」ということ。
つまり、
\(a+1\)＜\(3\)
\(a\)＜\(2\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸に近いのは、区間の端のうち大きい方が最大値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+1\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+1\)の２つ。
そのうち大きいのは\(a+1\)の方なので、\(x=a+1\)で最大値をとる。
\(f(x)\)に\(x=a+1\)を代入した値は、
\(f(a+1)=\)\(-\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{5}{2}\)
となる。
つまり、
\(a\)＜\(2\)のとき、\(x=a+1\)で最大値\(-\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{5}{2}\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
②軸が区間の中のとき
「軸が区間の中のとき」というのは、「軸\(x=3\)が\(a\)以上かつ\(a+1\)以下」ということ。
つまり、\(a\)≦\(3\)かつ\(3\)≦\(a+1\)という条件。
\(3\)≦\(a+1\)を整理すると
\(2\)≦\(a\)
となり、\(a\)は\(2\)以上\(3\)以下ということが分かる。
これをまとめると
\(2\)≦\(a\)≦\(3\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸が区間の中なので、頂点が軸に一番近い、というか重なっているから問答無用で頂点が最大値となっていることが分かる。
頂点は\((3,\frac{9}{2})\)だと分かっているので、\(x=3\)で最大値\(\frac{9}{2}\)をとる。
つまり、
\(2\)≦\(a\)≦\(3\)のとき\(x=3\)で最大値\(\frac{9}{2}\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
③軸が区間の左外のとき
「軸が区間の左外のとき」というのは、「区間の左端\(a\)が軸\(x=3\)よりも大きいとき」ということ。
つまり、
\(a\)＞\(3\)
という条件になる。
最小値は、2次関数の最大値と最小値より
軸に近いのは、区間の端のうち小さい方が最大値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+1\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+1\)の２つ。
そのうち小さいのは\(a\)の方なので、\(x=a\)で最大値をとる。
\(f(x)\)に\(x=a\)を代入した値は、
\(f(a)=\)\(-\frac{1}{2}a^2+3a\)
となる。
つまり、
\(a\)＞\(3\)のとき、\(x=a\)で最大値\(-\frac{1}{2}a^2+3a\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
①～③をまとめてみると
こんな感じ。
答えるときは、
\[
M(a) = \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle -\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{5}{2} \;\;\; ( a ＜ 2 ) \\
\frac{9}{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, ( 2≦a≦3 )\\
-\frac{1}{2}a^2+3a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, ( a ＞ 3 )
\end{array} \right.
\]
こんな感じに答えることになる。
次に、最小値\(m(a)\)を考える。
2次関数の最大値と最小値、上に凸のグラフの最小値は、
軸と中央値が同じときは、軸から同じだけ離れているから区間の両端とも最小値をとる。
軸と中央値が違うときは、軸から遠い方の区間の端で最小値をとる。
考えられるのは、軸が区間の
④中央より右
⑤中央と同じ
⑥中央より左
この3パターン。
順番に見ていく。
④軸が区間の中央より右のとき
「軸が区間の中央より右のとき」というのは、「区間の中央値\(c=\frac{2a+1}{2}\)が軸\(x=3\)よりも小さいとき」ということ。
つまり、
\(\frac{2a+1}{2}\)＜\(3\)
\(2a+1\)＜\(6\)
\(2a\)＜\(5\)
\(a\)＜\(\frac{5}{2}\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸から遠いのは、区間の端のうち小さい方が最小値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+1\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+1\)の２つ。
そのうち小さいのは\(a\)の方なので、\(x=a\)で最小値をとる。
\(f(x)\)に\(x=a\)を代入した値は、
\(f(a)=\)\(-\frac{1}{2}a^2+3a\)
となる。
つまり、
\(a\)＜\(\frac{5}{2}\)のとき、\(x=a\)で最小値\(-\frac{1}{2}a^2+3a\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
⑤軸が区間の中央と同じのとき「軸が区間の中央と同じのとき」というのは、「区間の中央値\(c=\frac{2a+1}{2}\)が軸\(x=3\)と同じ」ということ。
つまり、
\(\begin{array}{l} \frac{2a+1}{2}=3\\ 2a+1=6\\ 2a=5\\ \end{array}\)
\(a=\frac{5}{2}\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸と中央値が同じなので、軸から同じだけ離れているから区間の両端とも最小値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+1\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+1\)の２つ。
\(a=\frac{5}{2}\)という条件より、定義域は\(\frac{5}{2}\)≦\(x\)≦\(\frac{7}{2}\)で、区間の端は\(\frac{5}{2}\)、\(\frac{7}{2}\)となるので、\(x=\frac{5}{2},\frac{7}{2}\)で最小値をとる。
\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x\)に\(x=\frac{5}{2}\)を代入すると、
\(\begin{array}{l} f(x)=-\frac{1}{2}(\frac{5}{2})^2+3･\frac{5}{2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}･\frac{25}{4}+3･\frac{5}{2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{25}{8}+\frac{15}{2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{25}{8}+\frac{60}{8} \\ \end{array}\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=\)\(\;\frac{35}{8}\)
試しに\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x\)に\(x=\frac{7}{2}\)を代入すると、
\(\begin{array}{l} f(x)=-\frac{1}{2}(\frac{7}{2})^2+3･\frac{7}{2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{2}･\frac{49}{4}+3･\frac{7}{2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{49}{8}+\frac{21}{2} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{49}{8}+\frac{84}{8} \\ \end{array}\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=\)\(\;\frac{35}{8}\)
同じ値になる。
つまり、
\(a=\frac{5}{2}\)のとき、\(x=\frac{5}{2},\frac{7}{2}\)で最小値\(\frac{35}{8}\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
⑥軸が区間の中央より左のとき
「軸が区間の中央より左のとき」というのは、「区間の中央値\(c=\frac{2a+1}{2}\)が軸\(x=3\)よりも大きいとき」ということ。
つまり、
\(\frac{2a+1}{2}\)＞\(3\)
\(2a+1\)＞\(6\)
\(2a\)＞\(5\)
\(a\)＞\(\frac{5}{2}\)
という条件になる。
最大値は、2次関数の最大値と最小値より
軸から遠いのは、区間の端のうち大きい方が最小値となっていることが分かる。
定義域は\(a\)≦\(x\)≦\(a+1\)なので、区間の端は\(a\)、\(a+1\)の２つ。
そのうち大きいのは\(a+1\)の方なので、\(x=a+1\)で最小値をとる。
\(f(x)\)に\(x=a+1\)を代入した値は、
\(f(a+1)=\)\(-\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{5}{2}\)
となる。
つまり、
\(a\)＞\(\frac{5}{2}\)のとき、\(x=a+1\)で最小値\(-\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{5}{2}\)をとる
これが答え。
グラフで見ると、
こんな感じ。
④～⑥をまとめてみると
答えるときは、⑤と⑥はひとつにまとめて、
\[ m(a) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{1}{2}a^2+3a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\: ( a ＞ \frac{5}{2} ) \\ -\frac{1}{2}a^2+2a+\frac{5}{2} \;\;\; ( a ≧ \frac{5}{2} ) \\ \end{array} \right. \] こんな感じに答えることになる。
| 2次の多項式を平方式や完全平方式に変形させること | |
| 関数\(y=f(x)\)における\(x\)の変域のこと | |
| 定義域に制限がある際の、\(x\)の値の範囲の実数\(x\)の集合のこと |
動く区間には、一端と全体の2パターンある。
もしかすると、考え方によってはもっと複雑な動き方をすることもあるかもしれない。
だけど、とりあえず区間の一端が動くときと区間の全体が動くときをおさえておけば良き。
動く区間における最大と最小は、基本がしっかりできていればそこまで難しくない。
ちょっとややこしいけど、問題のパターンを覚えていれば答えまで導き出せる。
いくつも例題や問題を解いて、基本をしっかりと身に着けておきたい。
といいつつも、正直、やっぱり、できれば区間は動かないでいて欲しい。
