すうがくのいえ 
不等式の中に絶対値が入ると少し見慣れない形になる。
だけど、基本的な考え方は今までと同じ。
絶対値を外して場合分けしてあげれば、あとは2次不等式を解く作業に持ち込める。
とにかく、絶対値を外すことを考えるのが大事。
絶対値とは点と点との距離のこと。
絶対値は記号を外すとプラスになるという性質を持っている。
絶対値記号の中がプラスのとき、そのまま絶対値記号をはずし、
絶対値記号の中がマイナスのとき、絶対値記号の中に\(-1\)をかける。
絶対値とは？意味と外し方
また、絶対値を含む不等式には\(a\)＞\(0\)のとき
不等式\(|x|\)＜\(a\)の解は\(-a\)＜\(x\)＜\(a\)
不等式\(|x|\)＞\(a\)の解は\(x\)＜\(-a,a\)＜\(x\)
という法則がある。
絶対値を含む不等式
絶対値を含む2次不等式を解いていくとき、絶対値を含む不等式と同様に
- 右辺が正の数のとき
- 右辺が正の数とは限らないとき
で解き方が少し変わる。
不等式\(|x|\)＜\(a\)の解は\(-a\)＜\(x\)＜\(a\)
不等式\(|x|\)＞\(a\)の解は\(x\)＜\(-a,a\)＜\(x\)
という法則を使う。
例えば、\(|x^2-3|\)＞\(2\)の場合、右辺が\(2\)という正の数なので
不等式\(|x|\)＞\(a\)の解は\(x\)＜\(-a,a\)＜\(x\)より
\(|x^2-3|\)＞\(2\)について\(f(x)=|x^2-3|,g(x)=2\)とおいて\(f(x)\)＞\(g(x)\)という関係をグラフに表してみると
こんな感じ。
絶対値を含む不等式の法則が使えるときは、なるべく使って簡単に解いていきたい。
不等式\(|x|\)＜\(a\)の解は\(-a\)＜\(x\)＜\(a\)
不等式\(|x|\)＞\(a\)の解は\(x\)＜\(-a,a\)＜\(x\)
という法則は使えない。
例えば、\(|2x^2-3x-5|\)＜\(x+1\)の場合、右辺が\(x+1\)と正の数とは限らないので、上の様な法則は使えない。
なので、絶対値の性質
・\(2x^2-3x-5\)≧\(0\)のとき\(|2x^2-3x-5|=2x^2-3x-5\)
・\(2x^2-3x-5\)＜\(0\)のとき\(|2x^2-3x-5|=-(2x^2-3x-5)\)
と場合分けをして考えなければならない。
\(2x^2-3x-5=(2x-5)(x+1)\)より
\(2x^2-3x-5\)≧\(0\)は\(x\)≦\(-1,\frac{5}{2}\)≦\(x\)
\(2x^2-3x-5\)＜\(0\)は\(-1\)＜\(x\)＜\(\frac{5}{2}\)
となる。
改めて整理すると
・\(x\)≦\(-1,\frac{5}{2}\)≦\(x\)のとき\(|2x^2-3x-5|=2x^2-3x-5\)
・\(-1\)＜\(x\)＜\(\frac{5}{2}\)のとき\(|2x^2-3x-5|=-(2x^2-3x-5)\)
という場合分けになるので、それぞれ解いていく。
\(|2x^2-3x-5|\)＜\(x+1\)について\(f(x)=|2x^2-3x-5|,g(x)=x+1\)とおいて\(f(x)\)＜\(g(x)\)という関係をグラフに表してみると
こんな感じ。
場合分けをしたときの範囲を正確に判断していきたい。
例題を解きながら、絶対値を含む2次不等式の解き方を確認する。
\(|x^2-x-3|\)≦\(3\)の解は\(-3\)≦\(x^2-x-3\)≦\(3\)となる。
複合不等式\(-3\)≦\(x^2-x-3\)≦\(3\)は\(-3\)≦\(x^2-x-3\)かつ\(x^2-x-3\)≦\(3\)という意味。
それぞれの不等式を分けて解く。
\(|x^2-x-3|\)≦\(3\)について\(f(x)=|x^2-x-3|,g(x)=3\)とおいて\(f(x)\)≦\(g(x)\)という関係をグラフに表してみると
こんな感じ。
\(x^2-2x-3\)＜\(0\)は\(-1\)＜\(x\)＜\(3\)
となる。
整理すると
・\(x\)≦\(-1,3\)≦\(x\)のとき\(|x^2-2x-3|=x^2-2x-3\)
・\(-1\)＜\(x\)＜\(3\)のとき\(|x^2-2x-3|=-(x^2-2x-3)\)
という場合分けになるので、それぞれ解いていく。
\(|x^2-2x-3|\)≧\(3-x\)について\(f(x)=|x^2-2x-3|,g(x)=3-x\)とおいて\(f(x)\)＜\(g(x)\)という関係をグラフに表してみると
こんな感じ。
| 点と点との距離のこと。 基本的には原点からの距離。 |
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| \(a\)＞\(0\)のとき 不等式\(|x|\)＜\(a\)の解は\(-a\)＜\(x\)＜\(a\) 不等式\(|x|\)＞\(a\)の解は\(x\)＜\(-a,a\)＜\(x\) |
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\(ax^2+bx+c\)＞\(0\) \(ax^2+bx+c\)＜\(0\) \(ax^2+bx+c\)≧\(0\) \(ax^2+bx+c\)≦\(0\) (\(a,b,c\)は定数、\(a≠0\)) |
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| 2つ以上の不等号を組み合わせて、同時に成り立つ複数の条件を一つの不等式で表したもの 例：\(-3\)≦\(x^2-x-3\)≦\(3\) |
絶対値の性質を理解していれば、絶対値を含む2次不等式は場合分けをすることで解くことができると分かる。
範囲の条件では、「または」と「かつ」の使い分けが重要となる。
場合分けをすると、もともとあったものを分けて考えるので最終的に合わせるので「または」。
複合不等式は「一つの式で2つの条件を同時に満たす」ので「かつ」。
数直線で範囲の確認をする時は特に注意したい。
グラフから範囲をイメージできるようになると、式が表す意味を図と対応づけて理解できるようになり、問題への応用力も高まる。
